Het doordenken van een voorbeeld

[Peter van Velzen]

Ik had in het topic "over democratie" voorgesteld om de minister-president te laten kiezen volgens het Bucklin_voting systeem,
Het werkt als volgt:

Elke kiezer kent aan elke kandidaat een volgnummer toe.
Eerst telt men van elke kandidaat het aantal 1e plaatsen dat aan die kandidaat is toegekend
Als voor een kandidaat het aantal getelde stemmen groter of gelijk is aan 50% van de uitgebrachte geldige stemmen, dan heeft deze gewonnen.
Zo niet dan B.

B
Men telt voor elke kandidaat het aantal keren bij zijn totaal dat de kiezers deze het eerstvolgende rangnummer hebben toegekend.
Als vervolgens van een (of meer) kandidaten het aantal getelde stemmen groter of gelijk blijkt dan 50% van de uitgebrachte geldige stemmen dan wint de kandidaat voor wie de meeste stemmen zijn geteld
Zo niet dan wéér B.

Tiberius Claudius meende dat dat systeem iets ondemocratisch zou hebben en bizarre uitslagen kon genereren.
Ik vroeg hem een voorbeeld van zo'n bizarre uitslag te geven:

Hij reageerde met dit voorbeeld:

H-25% (+1)
S-50% (-2)
R-25% (+1)
----------------------------
Tweede keus:

H-50%-1
S-00%+2
R-50%-2

Dat is inderdaad een bizar resultaat, al ligt dat -volgens mij - niet aan het systeem.

De consequentie is dat voor rangnummer 3 geldt.

H-25%
S-50%
R-25%

Het is wel heel bizar dat twee van de drie kandidaten H en R precies even vaak rangnummer-1, -2 en -3 van de kiezers hebben gekregen. Ook is het vrij bizar dat de derde (S) van precies de helft van de kiezers rangnummer 3 heeft gekregen, en slechts 2 keer minder vaak rangnummer 1. Er valt echter veel meer te zeggen over dit voorbeeld. We kunnen namelijk - als we het aantal geldig uitgebrachte stemmen kennen precies weten hoe vaak elke mogelijke stem voorkomt. Voor drie kandidaten zijn er immers 6 varianten. Er kunnen 3 kandidaten rang 1 krijgen en voor elk van de drie geldt dat rang 2 aan een van beide anderen kan worden verleent. Voor rang 3 is er dan geen keuze meer.

Om percentages van 25% mogelijk te maken moet het totaal aantal uitgebrachte stemmen deelbaar te zijn door 4.
Hieruit maak ik op dat er derhalve tenminste 4 moeten zijn. In het de bizarre optie dat er maar vier zouden zijn krijgen we het volgende resultaat.

Na de eerste telling (alleen rang 1)

H-25% (+1) dit is dus gelijk aan 1+1 =2
S-50% (-2) dit is gelijk aan 2-2 =0
R-25% (+1) dit is gelijk aan 1-1=2

Omdat twee kandidaten de helft van de stemmen hebben behaalt, zouden zowel H als R winnen. (We krijgen waarschijnlijk een co-premierschap), maar hoe dan ook de overige rangen doen er niet meer toe. H en R spelen altijd gelijk.

We kunnen ze evenwel op dezelfde manier uitrekenen:

Rang 2:
H-50%-1 dit is gelijk aan 2-1 = 1
S-00%+2 dit is gelijk aan 0+2 = 2
R-50%-2 dit is gelijk aan 2-1 = 1

Rang 3,
H-25% dit is 1
S-50% dit is 2
R-25% dit is 1

Hiermee kunnen we de vier stembiljetten eenvoudig vaststellen.

aangezien S geen enkele keer rang 1 heeft gekregen en H en R slechts één maal rang 2. Zijn die als volgt ingevuld.

H1 S2 R3
H1 R2 S3
R1 S2 H3
R1 H2 S3

Stembiljetten met S1 H2 R3 of S1 R2 H3 zijn namelijk niet mogelijk.

Zoals je ziet hebben 3 kiezers een voorkeur voor H boven S en 3 kiezers een voorkeur voor R boven S.
Dat S verliest is derhalve strikt logisch.

Waarschijnlijk zijn er ongeveer 8 miljoen méér kiezers, maar ook de inhoud van die 8 miljoen stembiljetten is bekend, aangezien de percentages al vast stonden:

2 miljoen er van luiden S1, H2 R3
2 miljoen er van luiden S1, R2 H3
2 miljoen er van luiden H1, R2 S3
2 miljoen er van luiden R1, H1 S3
Stembiljetten met H1 S2 R3 of R1 S2 H3 kunnen onder deze 8 miljoen namelijk niet meer voorkomen.

Aangezien elk der kandidaten in deze 8 miljoen stembiljetten even vaak de voorkeur heeft gekregen boven een andere kandidaat als andersom, zou dit de uitslag niet (moeten) beïnvloeden.

Uniek is dat er slechts één kiezer is die H1 S2 R3 heeft ingevuld en ook maar één die R1, S2, H3 heeft ingevuld.

Voor wie niet kan tellen geef ik nogmaals een opsomming van alle (8.000.004) stembiljetten

H1 S2 R2 = 1
H1 R1 S3 = 2.000.001
S1 R2 H3 = 2.000.000
S1 H1 R2 = 2.000.000
R1 S2 H3 = 1
R1 H1 S3 = 2.000.001