Status en rol van de intuïtie

[Peter van Velzen]

Amrauder draait een beetje door denk ik, of beter gezegd: Hij slaat op hol.

Hij denkt - blijkbaar - dat de rekenregels slechts afspraken zijn. Dat komt - denk ik - omdat hij niet met fysieke hoeveelhedem werkt.

Ook Axxyanus kon dat blijkbaar niet zo goed. Vandaar dat hij kwam met de moderne opvatting dat getallen elkaar opvolgen. Maar ze volgen elkaar alleen op als je bezig bent er telkens een aan toe te voegen.

Alhoewel je op papier niet exact hetzelfde kan doen als met fysieke voorwerpen, heb ik al enige malen laten zien dat I en I wanneer je ze samenvoegt II oplevert. Dat is geen afspraak, dat is wat je met je eigen ogen kan zien als je een stokje toevoegt aan een ander stokje. De rekenregels zijn in eerste instantie slechts een beschrijving van wat ziet gebeuren als je dingen samenvoegt of afsplitst.
Ik stel stokjes voor als te gebruiken voorwerpen omdat die gemakkelijk zijn om te zetten in iets leesbaars. Één stokje is dan: I

Als je bijvoorbeeld II bij III voegt krijg je IIIII. Altijd! (tenzij iemand een stokje wegpikt).

Aftrekken is wat er gebeurt als je van een stel voorwerpen er een aantal verwijdert.
Als je II van IIIIIII verwijdert. dan blijft er IIIII over.

Vermenigvuldigen is het samenvoegen van een aantal gelijke rijtjes. En delen is het VERdelen in een aantal gelijke rijtjes. Daarvoor is meer fantasie nodig, want IIII betekent dan niet altijd vier stokjes, maar soms vier rijtjes van stokjes. Dat is wél een afspraak die je moet maken.

De rekenregels zijn dus feitelijk het taalkundig beschrijven van wat je ziet (of voelt want dat kan natuurlijk ook) gebeuren als je dit doet met echte voorwerpen. Het is dus (vrijwel volkomen) gebaseerd op waarneming!

Dan nog even dit: Intuitie hebben is het snel voorhanden hebben van een of meer (mogelijke) acties die je in bepaalde omstandigheden kunt uitvoeren. Naar mate je ouder wordt, zijn steeds meer van die mogelijkheden aangeleerd. Redelijk denken is wat je doet - niet alleen als je met anderen praat, maar ook als je iets nog niet hebt aangeleert. Het staat echter niet zo zeer in dienst van de intuïtie, maar vormt haar wel. De ratio is als het verzetten een voet en dan de andere, de intuïtie is als het lopen.

Het is echter soms verstandig om niet op hol te slaan.

[chromis]

Uiteindelijk zijn getallen inderdaad symbolen voor hoeveelheden, die weliswaar niet "op zichzelf bestaan". We hebben het over een hoeveelheid van bepaalde dingen, een hoeveelheid "op zich" hebben we nog nooit gezien. Deze hoeveelheden impliceren ook nog eens allerlei regels die we [daarom alleen] in symboliek kunnen uitdrukken. Vanuit dat perspectief de symbolen en de regels van de symbolen als één geheel zien is volgens mij wel begrijpelijk.

De symboliek en de regels zijn echter inderdaad een abstractie die vanuit empirische waarnemingen is afgeleid, uit een wereld waarvan wij redelijkerwijs kunnen stellen dat we deze met elkaar delen... als dat niet zou kloppen dan wordt een gesprek anyhow nogal moeilijk lijkt mij (dan hebben we het over verschillende werelden c.q. waarnemingen). De gedachte dat we "wiskunde hebben ontdekt" is vanuit dat perspectief ook begrijpelijk: dat zou een topic an sich kunnen zijn, de mening en kennis van Roger Penrose is wellicht een interessant startpunt: https://www.youtube.com/watch?v=ujvS2K06dg4

Maar dit is wellicht ook wel het "hete hangijzer": in welke mate kan je als mens doorschieten met deze abstracties en in welke mate ga je de abstracties zien als de werkelijkheid of "het fundament" van de werkelijkheid? Of "als iets dat op zich bestaat"? Klopt dat? Hoe weten wet dat? Is dat intuïtief? of juist niet? n.b. dat zijn wat mij betreft open (onderzoeks)vragen. Ik heb geen antwoorden.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Amrauder draait een beetje door denk ik, of beter gezegd: Hij slaat op hol.

Hij denkt - blijkbaar - dat de rekenregels slechts afspraken zijn. Dat komt - denk ik - omdat hij niet met fysieke hoeveelhedem werkt.

Ook Axxyanus kon dat blijkbaar niet zo goed. Vandaar dat hij kwam met de moderne opvatting dat getallen elkaar opvolgen. Maar ze volgen elkaar alleen op als je bezig bent er telkens een aan toe te voegen.

Alhoewel je op papier niet exact hetzelfde kan doen als met fysieke voorwerpen, heb ik al enige malen laten zien dat I en I wanneer je ze samenvoegt II oplevert. Dat is geen afspraak, dat is wat je met je eigen ogen kan zien als je een stokje toevoegt aan een ander stokje. De rekenregels zijn in eerste instantie slechts een beschrijving van wat ziet gebeuren als je dingen samenvoegt of afsplitst.
Ik stel stokjes voor als te gebruiken voorwerpen omdat die gemakkelijk zijn om te zetten in iets leesbaars. Één stokje is dan: I

Als je bijvoorbeeld II bij III voegt krijg je IIIII. Altijd! (tenzij iemand een stokje wegpikt).

Aftrekken is wat er gebeurt als je van een stel voorwerpen er een aantal verwijdert.
Als je II van IIIIIII verwijdert. dan blijft er IIIII over.

Vermenigvuldigen is het samenvoegen van een aantal gelijke rijtjes. En delen is het VERdelen in een aantal gelijke rijtjes. Daarvoor is meer fantasie nodig, want IIII betekent dan niet altijd vier stokjes, maar soms vier rijtjes van stokjes. Dat is wél een afspraak die je moet maken.

De rekenregels zijn dus feitelijk het taalkundig beschrijven van wat je ziet (of voelt want dat kan natuurlijk ook) gebeuren als je dit doet met echte voorwerpen. Het is dus (vrijwel volkomen) gebaseerd op waarneming!

Dan nog even dit: Intuitie hebben is het snel voorhanden hebben van een of meer (mogelijke) acties die je in bepaalde omstandigheden kunt uitvoeren. Naar mate je ouder wordt, zijn steeds meer van die mogelijkheden aangeleerd. Redelijk denken is wat je doet - niet alleen als je met anderen praat, maar ook als je iets nog niet hebt aangeleert. Het staat echter niet zo zeer in dienst van de intuïtie, maar vormt haar wel. De ratio is als het verzetten een voet en dan de andere, de intuïtie is als het lopen.

Het is echter soms verstandig om niet op hol te slaan.

Dat van die opvolging zoals je dat neerzet wordt gebruikt in de intuïtieve wiskunde van Brouwer dar nauwelijks meer wordt gebruikt.
Verder is je benadering en vrij kinderlijke dit idee is in de algebra allang losgelaten.
Men streeft er naar het invoeren van getallen zo abstract te doen, dat jouw methode juist wordt vermeden.
(Helaas zien we op de basisschool een tegengestelde beweging, waardoor de betere kinderen in hu abstracte denken worden belemmerd)

Ook is je verhaal van de vier hoofdbewerkingen uit de rekenkunde (de algebra kent er slechts twee) niet goed geformuleerd.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Uiteindelijk zijn getallen inderdaad symbolen voor hoeveelheden,

Dat is onjuist.
Ook jij verwart getallen met cijfers wat nu eenmaal heel verschillende zaken zijn.

Men kan kiezen wat voor cijfer/symbool men aan een bepaald getal geeft het getal zelf blijft het zelfde.

Neem het symbolen π , e en i.
De bijbehorende getallen spelen een centrale rol in veel delen van de wiskunde.
Een buitenaardse technologie kent deze getallen stellig ook, maar zal onze symbolen er voor niet kennen.

[axxyanus]

waarbij het misschien wel gemakkelijk is om onder de tafel stilletjes, op het moment dat niemand er op let, stiekem een beetje Platonisme binnen te smokkelen en de schaduw van de God van Abraham te redden uit het brandend huis waar hij zich in bevindt.

Whahaha, stiekem, als niemand kijkt, en als iemand dan vraagt: “Hee, wie heeft dat platonisme hier binnengehaald?” gewoon keihard ontkennen! “Dat was ik niet hoor! Platonisme, bah!”

Ik heb de indruk dat jullie twee wel heel veel belang hechten aan welk etiketje je op een idee kan plakken.

Mij persoonlijk maakt het niet uit of een idee platonische, christelijke, idealistische, of wat voor wortels ook heeft. Als de werkelijkheid zich lijkt te gedragen volgens platonische ideeën, dan is dat maar zo. Als een bepaalde waarde die ik belangrijk vind, zijn wortels zou hebben in het christendom, dan ga ik daarom die waarde niet afzweren.

Ideeën gaan beoordelen op basis van welk etiketje men erop kan plakken lijkt mij niet bepaald nuttig maar wie daar anders over denkt, die doet maar.

[VseslavBotkin]

waarbij het misschien wel gemakkelijk is om onder de tafel stilletjes, op het moment dat niemand er op let, stiekem een beetje Platonisme binnen te smokkelen en de schaduw van de God van Abraham te redden uit het brandend huis waar hij zich in bevindt.

Whahaha, stiekem, als niemand kijkt, en als iemand dan vraagt: “Hee, wie heeft dat platonisme hier binnengehaald?” gewoon keihard ontkennen! “Dat was ik niet hoor! Platonisme, bah!”

Ik heb de indruk dat jullie twee wel heel veel belang hechten aan welk etiketje je op een idee kan plakken.

Ik heb de indruk dat jouw vermogen om de kern van een argument te begrijpen nogal te wensen overlaat, hahaha. Verder dan kleine foutjes of tegenstrijdigheden aanwijzen, waarbij je vaak ook nog eens rare leesfouten maakt in je gekrenktheid, komt het helaas niet! Een resultaat van denken dat argumenteren draait om regeltjes volgen wellicht?

Het ging hier over rekenregeltjes en "de rede" aan de ene kant, en de realiteit aan de andere. Geloof, als je wilt, dat wiskunde draait om dingen "ontdekken" in plaats van dingen verzinnen en afspreken, prima. De grote boze wereld zit niet zo in elkaar! De realiteit heeft geen boodschap aan dat soort ijdele fantasieën, die tsjokt gewoon lekker verder zoals hij dat zelf wil. En waarom dan mijn vergelijking met het christendom? Omdat de idee dat op deze manier "denken" (in zoverre je dit nog denken kunt noemen) een voorbijgaan aan de kerk behelst, het afrekenen met dogma's en fantasieën is, het verkiezen van "bewijs" boven autoriteiten is, een grap is.

Deze manier van (niet) kijken is door en door religieus en wensdenkerig. Op geen enkele manier stijgt dit uit boven de fabeltjes die we al honderden jaren van de kerk hebben gehoord. Het platonisme (d.w.z. het belasteren van "deze" wereld met de fantasie van een "andere", "betere" wereld) is volop aanwezig; het is nu zelfs onduidelijker en geheimzinniger geworden, achterbakser en oneerlijker. Als je over de hemel begint lachen mensen je (terecht) in je gezicht uit, maar als je spreekt over "de rede", als een soort ontdekbaar, universeel, totaal samenhangend patroon dat zogenaamd schuil zou gaan achter woorden en alleen te ontdekken is door de experts dan kan het allemaal! Vanitas! Vanitatum vanitas!

[axxyanus]

Whahaha, stiekem, als niemand kijkt, en als iemand dan vraagt: “Hee, wie heeft dat platonisme hier binnengehaald?” gewoon keihard ontkennen! “Dat was ik niet hoor! Platonisme, bah!”

Ik heb de indruk dat jullie twee wel heel veel belang hechten aan welk etiketje je op een idee kan plakken.

Ik heb de indruk dat jouw vermogen om de kern van een argument te begrijpen nogal te wensen overlaat, hahaha. Verder dan kleine foutjes of tegenstrijdigheden aanwijzen, waarbij je vaak ook nog eens rare leesfouten maakt in je gekrenktheid, komt het helaas niet! Een resultaat van denken dat argumenteren draait om regeltjes volgen wellicht?

Ik heb inderdaad geen idee waar de kern van jouw argument omdraait. Ik heb de indruk dat je hier voornamelijk uiteenzettingen geeft van hoe jij de zaken ziet, waarbij je lijkt te verwachten dat we je gewoon op je woord geloven. Redenen waarom we zouden aannemen wat je beweert kan ik er niet in vinden.

[chromis]

De kern van het onderwerp van heel wat pagina's (volgens mij) is dat "we" onszelf (semi-bewust) laten ringeloren door een set aan basis-conditioneringen waarop niet alleen een bewuste, expliciete Christelijke geloofsbelijdenis kan worden geconstrueerd... het is ook de (heimelijke) basis van onze Westerse hedendaagse kijk op onze wereld c.q. "onze samenleving", onze cultuur. Daar hoort o.a. (dus) ook onze kijk/hantering op/van "de rede" bij, en meer. De focus op regeltjes en precieze formuleringen wordt veel vaker een doel terwijl het een middel zou moeten zijn (Tiberius: inderdaad, ik was niet compleet/precies genoeg, ik gooide 'getallen' en 'cijfers' op één hoop) terwijl "the big picture" uit het oog raakt (dat wellicht buiten comfort zones en/of "interesse-gebieden" gaat belanden - het "wat-heb-je-eraan"-gevoel zullen sommigen best hebben). Dat 'Christelijke Geloof' is dus als "puist" (relatief!) makkelijk 'uitknijpbaar'. Dat deze dus diepgaande wortels of sporen heeft (en meer, anders lijkende puisten kan veroorzaken) kan een... 'vervolgkwestie' worden, die 'tak van sport' wordt o.a. veel filosofischer en psychologischer. Het kan confronterend worden: het vereist deconstructie en onderzoek van alles wat je denkt te weten.

[Peter van Velzen]

Dat van die opvolging zoals je dat neerzet wordt gebruikt in de intuïtieve wiskunde van Brouwer dar nauwelijks meer wordt gebruikt.
Verder is je benadering en vrij kinderlijke dit idee is in de algebra allang losgelaten.
Men streeft er naar het invoeren van getallen zo abstract te doen, dat jouw methode juist wordt vermeden.
(Helaas zien we op de basisschool een tegengestelde beweging, waardoor de betere kinderen in hu abstracte denken worden belemmerd)

Ook is je verhaal van de vier hoofdbewerkingen uit de rekenkunde (de algebra kent er slechts twee) niet goed geformuleerd.

Natuurlijk is het een vrij kinderlijk. Dat was juist de bedoeling! Ik had voorbeelden nodig die aantoonden dat rekenregels empirisch getoetst kunnen worden! en dat kan niet met abstracties. Aan opvolging had ik geen behoefte. Wel aan toevoegen!
Ik denk anders over de basis-school dan jij, maar dat is hier helemaal off topic.

[Amerauder]

Een buitenaardse technologie kent deze getallen stellig ook

Een mooi voorbeeld wederom van de manier waarop aan abstracties geloof geschonken wordt als ware het feitelijkheden.

Een tweede wereld wordt geponeerd, waarin alles duurzamer en rechtlijniger is dan in de onze, een alternatieve dimensie geheel buiten ruimte en tijd, waarin menselijke gedachten zijn als goddelijke wetten die heersen in een onveranderlijke eeuwigheid.

Er is niets mis mee om dat te geloven! Ga vooral je gang. Ik wil alleen maar benadrukken dat het inderdaad een geloof is, en wel een geloof dat in de rangorde der ideeën zeer dicht tegen de christelijk-platoonse idee aanzit en dus ook zeer vergelijkbare nadelen en risico’s kent.

We kunnen het ook gewoon afspraken noemen, sociale constructen, volledig van onze persoonlijke goedkeuring afhankelijk, en daar onze verantwoordelijkheid voor nemen. Dan kunnen we daarmee ook de marsmannetjes – nog zo’n verzinsel; valt het je niet op dat je om het ene verzinsel te rechtvaardigen altijd een nieuw verzinsel nodig hebt? – buiten houden.

Ook vind ik het persoonlijk vanaf dit standpunt nog maar een hele kleine stap naar de christelijke God. Als je eenmaal in lege abstracties gelooft die buiten ruimte en tijd staan en op geen enkele manier gebonden zijn aan de feitelijke stand van zaken, als de empirie eenmaal buitenspel staat, waarom dan op dat punt halt houden? Waarom dan niet ook die laatste kleine stap nog zetten? Merk wat dat betreft op dat het bestaan van rekenregels (net zoals het bestaan van morele wetten) dan ook maar al te vaak wordt opgevoerd als bewijs voor het bestaan van God.

[Amerauder]

De rekenregels zijn in eerste instantie slechts een beschrijving van wat ziet gebeuren als je dingen samenvoegt of afsplitst.

De rekenregels zijn dus feitelijk het taalkundig beschrijven van wat je ziet (of voelt want dat kan natuurlijk ook) gebeuren als je dit doet met echte voorwerpen. Het is dus (vrijwel volkomen) gebaseerd op waarneming!

De symboliek en de regels zijn echter inderdaad een abstractie die vanuit empirische waarnemingen is afgeleid, uit een wereld waarvan wij redelijkerwijs kunnen stellen dat we deze met elkaar delen...

Ooit was het zo ja!

Dit is inderdaad de oorsprong, niet te verwarren met wat wiskunde vandaag de dag is. Als mijn opa mijn oorsprong is, dan ben ik nog niet mijn opa. Verwissel ze nou toch niet met elkaar!

We spreken dan van een lang vervlogen periode in de geschiedenis waarin de getallen met name gebruikt werden om concrete objecten te meten in de fysieke wereld – cryptocurrencies waren er toen nog niet. We noemen dat meetkunde en ooit was alle wiskunde meetkunde. –

Ergens is dat anders geworden. Gaandeweg zijn de regels formeler en formelere geworden, abstracter en abstracter, tot de empirische werkelijkheid tenslotte in zijn geheel werd losgelaten en de wiskunde zijn eigen werkelijkheid op zich begon te vertegenwoordigen.

Neem het toch vooral niet van mij aan. Lees de geschiedenisboeken er maar op na.

Cruciaal in deze ontwikkeling is ten eerste de uitvinding (let op dat woord...) van het getal 0. Later begon men ook met negatieve getallen te werken – nog zoiets dat in de empirie niet voorkomt! –

Om te zien hoe de wiskunde zoals wij dat woord heden ten dage verstaan van de klassieke meetkunde verschilt, is het goed om even stil te staan bij de voorstelling van een oneindige ruimte zoals die tot stand komt in het beeld van een elkaar kruisende x en y as, waarbij het getal 0 het kruispunt vormt, die beide tot in het oneindige doorgaan, zowel in de richting van de positieve getallen als in die van de negatieve.





Deze oneindigheid, zo zul je misschien eens in de gelegenheid zijn om op te merken, komt in de empirische werkelijkheid niet voor, en in de klassieke meetkunde dus ook niet. Voor de hedendaagse wiskunde echter vormt ze de absolute basis. Wiskundigen laten zich al lang niet meer door de 'triviale toevalligheden' van het zintuiglijke belemmeren – 'toevalligheden' die, zoal Nietzsche het zo prachtig formuleert, de brutaliteit hebben zich als werkelijk op te dringen!

Als je er even goed bij stilstaat wat oneindigheid eigenlijk is, dan zul je misschien begrijpen waar de verwijzingen naar het platonisme en het godenrijk vandaan komen.

Doe je dat niet, en blijf je steken in het eeuwenlang verjaarde – en, zoals Tiberius terecht opmerkt, vrij kinderlijke – wiskunde-als-stokjes-tellen, nee, dan zul je ook niet kunnen zien waar daarmee op gewezen wordt.

Maar dit is wellicht ook wel het "hete hangijzer": in welke mate kan je als mens doorschieten met deze abstracties en in welke mate ga je de abstracties zien als de werkelijkheid of "het fundament" van de werkelijkheid? Of "als iets dat op zich bestaat"? Klopt dat? Hoe weten wet dat? Is dat intuïtief? of juist niet? n.b. dat zijn wat mij betreft open (onderzoeks)vragen. Ik heb geen antwoorden.

Dit is juist geformuleerd. ‘Een standpunt innemen’ is dan ook meer wat het is dan ‘het antwoord weten’.

En dat standpunt hangt weer samen met de vraag of Plato gelijk had of niet, en in het verlengde van die vraag, of Jahwe de Ene Ware oppergod is, of ‘slechts’ een god onder de goden, zoals in de Schrift nog vermeld staat. (De Schrift, die immers dateert van vóór de voltrekking van bovenstaande historische ontwikkeling.)

Het hangt allemaal samen met de vraag naar de status van abstracties. ‘Bestaat’ het oneindige? ‘Bestaat’ het Niets? Zijn het ‘slechts’ woorden?

Ook ik proef geen noodzaak om deze vraag te beantwoorden. Dat is: ik voel me op dit punt agnostisch.

Nietzsche is daar duidelijker over, hij windt er als het ware geen doekjes om, en formuleert de kwestie als volgt:

Hoe heeft de mensheid de hersenafwijkingen van zieke spinnenwebwevers ooit serieus kunnen nemen! – Maar het is haar duur komen te staan!...

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Een buitenaardse technologie kent deze getallen stellig ook

Een mooi voorbeeld wederom van de manier waarop aan abstracties geloof geschonken wordt als ware het feitelijkheden.

Een tweede wereld wordt geponeerd, waarin alles duurzamer en rechtlijniger is dan in de onze, een alternatieve dimensie geheel buiten ruimte en tijd, waarin menselijke gedachten zijn als goddelijke wetten die heersen in een onveranderlijke eeuwigheid.

Er is niets mis mee om dat te geloven! Ga vooral je gang. Ik wil alleen maar benadrukken dat het inderdaad een geloof is, en wel een geloof dat in de rangorde der ideeën zeer dicht tegen de christelijk-platoonse idee aanzit en dus ook zeer vergelijkbare nadelen en risico’s kent.

We kunnen het ook gewoon afspraken noemen, sociale constructen, volledig van onze persoonlijke goedkeuring afhankelijk, en daar onze verantwoordelijkheid voor nemen. Dan kunnen we daarmee ook de marsmannetjes – nog zo’n verzinsel; valt het je niet op dat je om het ene verzinsel te rechtvaardigen altijd een nieuw verzinsel nodig hebt? – buiten houden.

Ook vind ik het persoonlijk vanaf dit standpunt nog maar een hele kleine stap naar de christelijke God. Als je eenmaal in lege abstracties gelooft die buiten ruimte en tijd staan en op geen enkele manier gebonden zijn aan de feitelijke stand van zaken, als de empirie eenmaal buitenspel staat, waarom dan op dat punt halt houden? Waarom dan niet ook die laatste kleine stap nog zetten? Merk wat dat betreft op dat het bestaan van rekenregels (net zoals het bestaan van morele wetten) dan ook maar al te vaak wordt opgevoerd als bewijs voor het bestaan van God.

Ik kan niets met je verhaal.

Het is volgens mij niet veel meer dan wat filosofisch gebrabbel.

PS.
Hoe zit het met je herdefinitie van 1+1+3?
Daar wachten we nog op.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

De rekenregels zijn in eerste instantie slechts een beschrijving van wat ziet gebeuren als je dingen samenvoegt of afsplitst.

De rekenregels zijn dus feitelijk het taalkundig beschrijven van wat je ziet (of voelt want dat kan natuurlijk ook) gebeuren als je dit doet met echte voorwerpen. Het is dus (vrijwel volkomen) gebaseerd op waarneming!

De symboliek en de regels zijn echter inderdaad een abstractie die vanuit empirische waarnemingen is afgeleid, uit een wereld waarvan wij redelijkerwijs kunnen stellen dat we deze met elkaar delen...

Ooit was het zo ja!

Dit is inderdaad de oorsprong, niet te verwarren met wat wiskunde vandaag de dag is. Als mijn opa mijn oorsprong is, dan ben ik nog niet mijn opa. Verwissel ze nou toch niet met elkaar!

We spreken dan van een lang vervlogen periode in de geschiedenis waarin de getallen met name gebruikt werden om concrete objecten te meten in de fysieke wereld – cryptocurrencies waren er toen nog niet. We noemen dat meetkunde en ooit was alle wiskunde meetkunde. –

Ergens is dat anders geworden. Gaandeweg zijn de regels formeler en formelere geworden, abstracter en abstracter, tot de empirische werkelijkheid tenslotte in zijn geheel werd losgelaten en de wiskunde zijn eigen werkelijkheid op zich begon te vertegenwoordigen.

Neem het toch vooral niet van mij aan. Lees de geschiedenisboeken er maar op na.

Cruciaal in deze ontwikkeling is ten eerste de uitvinding (let op dat woord...) van het getal 0. Later begon men ook met negatieve getallen te werken – nog zoiets dat in de empirie niet voorkomt! –

Om te zien hoe de wiskunde zoals wij dat woord heden ten dage verstaan van de klassieke meetkunde verschilt, is het goed om even stil te staan bij de voorstelling van een oneindige ruimte zoals die tot stand komt in het beeld van een elkaar kruisende x en y as, waarbij het getal 0 het kruispunt vormt, die beide tot in het oneindige doorgaan, zowel in de richting van de positieve getallen als in die van de negatieve.





Deze oneindigheid, zo zul je misschien eens in de gelegenheid zijn om op te merken, komt in de empirische werkelijkheid niet voor, en in de klassieke meetkunde dus ook niet. Voor de hedendaagse wiskunde echter vormt ze de absolute basis. Wiskundigen laten zich al lang niet meer door de 'triviale toevalligheden' van het zintuiglijke belemmeren – 'toevalligheden' die, zoal Nietzsche het zo prachtig formuleert, de brutaliteit hebben zich als werkelijk op te dringen!

Als je er even goed bij stilstaat wat oneindigheid eigenlijk is, dan zul je misschien begrijpen waar de verwijzingen naar het platonisme en het godenrijk vandaan komen.

Doe je dat niet, en blijf je steken in het eeuwenlang verjaarde – en, zoals Tiberius terecht opmerkt, vrij kinderlijke – wiskunde-als-stokjes-tellen, nee, dan zul je ook niet kunnen zien waar daarmee op gewezen wordt.

Maar dit is wellicht ook wel het "hete hangijzer": in welke mate kan je als mens doorschieten met deze abstracties en in welke mate ga je de abstracties zien als de werkelijkheid of "het fundament" van de werkelijkheid? Of "als iets dat op zich bestaat"? Klopt dat? Hoe weten wet dat? Is dat intuïtief? of juist niet? n.b. dat zijn wat mij betreft open (onderzoeks)vragen. Ik heb geen antwoorden.

Dit is juist geformuleerd. ‘Een standpunt innemen’ is dan ook meer wat het is dan ‘het antwoord weten’.

En dat standpunt hangt weer samen met de vraag of Plato gelijk had of niet, en in het verlengde van die vraag, of Jahwe de Ene Ware oppergod is, of ‘slechts’ een god onder de goden, zoals in de Schrift nog vermeld staat. (De Schrift, die immers dateert van vóór de voltrekking van bovenstaande historische ontwikkeling.)

Het hangt allemaal samen met de vraag naar de status van abstracties. ‘Bestaat’ het oneindige? ‘Bestaat’ het Niets? Zijn het ‘slechts’ woorden?

Ook ik proef geen noodzaak om deze vraag te beantwoorden. Dat is: ik voel me op dit punt agnostisch.

Nietzsche is daar duidelijker over, hij windt er als het ware geen doekjes om, en formuleert de kwestie als volgt:

Hoe heeft de mensheid de hersenafwijkingen van zieke spinnenwebwevers ooit serieus kunnen nemen! – Maar het is haar duur komen te staan!...

Wat een verhaal zeg:

Het spijt me zeer maar volgens mij heb je de ballen geen verstand van Wiskunde.
Je beheerst niet eens de namen goed.

[axxyanus]

De rekenregels zijn in eerste instantie slechts een beschrijving van wat ziet gebeuren als je dingen samenvoegt of afsplitst.

De rekenregels zijn dus feitelijk het taalkundig beschrijven van wat je ziet (of voelt want dat kan natuurlijk ook) gebeuren als je dit doet met echte voorwerpen. Het is dus (vrijwel volkomen) gebaseerd op waarneming!

De symboliek en de regels zijn echter inderdaad een abstractie die vanuit empirische waarnemingen is afgeleid, uit een wereld waarvan wij redelijkerwijs kunnen stellen dat we deze met elkaar delen...

Ooit was het zo ja!

Dit is inderdaad de oorsprong, niet te verwarren met wat wiskunde vandaag de dag is. Als mijn opa mijn oorsprong is, dan ben ik nog niet mijn opa. Verwissel ze nou toch niet met elkaar!

We spreken dan van een lang vervlogen periode in de geschiedenis waarin de getallen met name gebruikt werden om concrete objecten te meten in de fysieke wereld – cryptocurrencies waren er toen nog niet. We noemen dat meetkunde en ooit was alle wiskunde meetkunde. –

Ergens is dat anders geworden. Gaandeweg zijn de regels formeler en formelere geworden, abstracter en abstracter, tot de empirische werkelijkheid tenslotte in zijn geheel werd losgelaten en de wiskunde zijn eigen werkelijkheid op zich begon te vertegenwoordigen.

Waarom begin jij nu over moderne wiskunde?

Waar het om gaat is dat de huidige rekenregels zijn terug te voeren op die lang vervlogen tijden. De communicatieve eigenschap van de optelling en vermenigvuldiging waren reeds in die lang vervlogen tijden gekend en werden o.a. meetkundig afgeleid. De rekenregels zijn dus geen afspraken.

De huidige wiskunde is er in geslaagd om een formele fundering aan te leggen waardoor deze eigenschappen ook bewezen konden worden. Maar dat is iets heel anders dan dat men deze eigenschappen/rekenregels zou afgesproken hebben.

[VseslavBotkin]

De rekenregels zijn in eerste instantie slechts een beschrijving van wat ziet gebeuren als je dingen samenvoegt of afsplitst.

De rekenregels zijn dus feitelijk het taalkundig beschrijven van wat je ziet (of voelt want dat kan natuurlijk ook) gebeuren als je dit doet met echte voorwerpen. Het is dus (vrijwel volkomen) gebaseerd op waarneming!

De symboliek en de regels zijn echter inderdaad een abstractie die vanuit empirische waarnemingen is afgeleid, uit een wereld waarvan wij redelijkerwijs kunnen stellen dat we deze met elkaar delen...

Ooit was het zo ja!

Dit is inderdaad de oorsprong, niet te verwarren met wat wiskunde vandaag de dag is. Als mijn opa mijn oorsprong is, dan ben ik nog niet mijn opa. Verwissel ze nou toch niet met elkaar!

We spreken dan van een lang vervlogen periode in de geschiedenis waarin de getallen met name gebruikt werden om concrete objecten te meten in de fysieke wereld – cryptocurrencies waren er toen nog niet. We noemen dat meetkunde en ooit was alle wiskunde meetkunde. –

Ergens is dat anders geworden. Gaandeweg zijn de regels formeler en formelere geworden, abstracter en abstracter, tot de empirische werkelijkheid tenslotte in zijn geheel werd losgelaten en de wiskunde zijn eigen werkelijkheid op zich begon te vertegenwoordigen.

Waarom begin jij nu over moderne wiskunde?

Waar het om gaat is dat de huidige rekenregels zijn terug te voeren op die lang vervlogen tijden. De communicatieve eigenschap van de optelling en vermenigvuldiging waren reeds in die lang vervlogen tijden gekend en werden o.a. meetkundig afgeleid. De rekenregels zijn dus geen afspraken.

De huidige wiskunde is er in geslaagd om een formele fundering aan te leggen waardoor deze eigenschappen ook bewezen konden worden. Maar dat is iets heel anders dan dat men deze eigenschappen/rekenregels zou afgesproken hebben.

Je gelooft serieus in verzamelingenleer of hoe moet ik dit opvatten?