Mijn minachting voor Cantor’s “diagonale bewijs”.

[axxyanus]

Men kan ook bewijzen dat er een bijectie bestaat tussen 𝓟(ℕ) en ℝ.

Zozo, ik ben zeer benieuwd naar dat bewijs waar men al meer dan honderd jaar naar zoekt.

Dat lijkt me raar aangezien mijn professor calculus in 1ste kandidatuur wiskunde dat bewijs al gaf zo'n veertig jaar geleden.

De wikipedia pagina over machtsverzamelingen stelt dat ook:

The power set of the set of natural numbers can be put in a one-to-one correspondence with the set of real numbers

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Men kan ook bewijzen dat er een bijectie bestaat tussen 𝓟(ℕ) en ℝ.

Zozo, ik ben zeer benieuwd naar dat bewijs waar men al meer dan honderd jaar naar zoekt.

Dat lijkt me raar aangezien mijn professor calculus in 1ste kandidatuur wiskunde dat bewijs al gaf zo'n veertig jaar geleden.

De wikipedia pagina over machtsverzamelingen stelt dat ook:

The power set of the set of natural numbers can be put in a one-to-one correspondence with the set of real numbers

Dit is inderdaad vreemd.

Maar misschien kan je het bewijs geven?

Het is namelijk altijd een vraag geweest of er zich tussen die twee nog andrer oneindigheden bevinden.

Hier en daar staat het wel in de Wiki maar daar wordt ook niets bewezen, men neemt het gewoon aan.

[axxyanus]

Zozo, ik ben zeer benieuwd naar dat bewijs waar men al meer dan honderd jaar naar zoekt.

Dat lijkt me raar aangezien mijn professor calculus in 1ste kandidatuur wiskunde dat bewijs al gaf zo'n veertig jaar geleden.

De wikipedia pagina over machtsverzamelingen stelt dat ook:

The power set of the set of natural numbers can be put in a one-to-one correspondence with the set of real numbers

Dit is inderdaad vreemd.

Maar misschien kan je het bewijs geven?

Het is namelijk altijd een vraag geweest of er zich tussen die twee nog andrer oneindigheden bevinden.

Je vergist je. Het is een vraag of er zich oneindigheden bevinden tussen ℕ en ℝ, niet of er oneindigheden zijn tussen 𝓟(ℕ) en ℝ

Voor zover ik daarvan op de hoogte ben heeft men bewezen dat de vraag of zich oneindigheden bevinden tussen ℕ en ℝ, onoplosbaar is met de huidige axioma's.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Je vergist je. Het is een vraag of er zich oneindigheden bevinden tussen ℕ en ℝ, niet of er oneindigheden zijn tussen 𝓟(ℕ) en ℝ
Voor zover ik daarvan op de hoogte ben heeft men bewezen dat de vraag of zich oneindigheden bevinden tussen ℕ en ℝ, onoplosbaar is met de huidige axioma's.

Beide zijn niet te bewijzen, dit is het continuïteitsprobleem.
Bewezen is dat als je een van de twee aanneemt er geen conttadictie ontstaat.

Er is dus geen bewijs mogelijk dat er tussen 𝓟(ℕ) en ℝ zich geen andere machtigheid bevindt.

ook heb ik het bewijs nog niet gezien dat ze dezelfden zijn.

PS.
Mijn Prof heeft mij dit geleerd en in Kamke: Menghe Leere staat dit ook.

Ook is de machtigheid van de functie verzameling die ik een paar dagen terug noemde bij mijn weten niet bekend.
Maar hier ben ik me minder zeker van.

[axxyanus]

Je vergist je. Het is een vraag of er zich oneindigheden bevinden tussen ℕ en ℝ, niet of er oneindigheden zijn tussen 𝓟(ℕ) en ℝ
Voor zover ik daarvan op de hoogte ben heeft men bewezen dat de vraag of zich oneindigheden bevinden tussen ℕ en ℝ, onoplosbaar is met de huidige axioma's.

Beide zijn niet te bewijzen, dit is het continuïteitsprobleem.

Neen, het continuïteitsprobleem beperkt zich enkel tot de vraag of er zich een oneindigheid bevind tussen ℕ en ℝ.

Er is dus geen bewijs mogelijk dat er tussen 𝓟(ℕ) en ℝ zich geen andere machtigheid bevindt.

Hier een schets om een bijectie te bekomen tussen 𝓟(ℕ) en het reële interval tussen 0 en 1.

Allereerst maken we een bijectie tussen 𝓟(ℕ) en zichzelf, die alle verzameling wiens complement een eindige verzameling is, wegwerkt. We doen dat door eindige verzamelingen af te beelden op de verzameling met alle elementen 1 groter en alle alle verzamelingen wiens complement eindig is, eerst te complementeren, dan de verzameling met alle elementen te nemen die 1 groter zijn en daar dan 0 aan toe te voegen.

Dus {3, 6, 7} ➔ {4, 7, 8} en {0, 1, 4, 5, 8, 9, ...} ➔ {0, 4, 7, 8}

Daarna gebruiken we de volgende functie om van een deelverzameling van ℕ naar een getal tussen 0 en 1 te gaan.

f(V) = ∑_n∈V 2^{-n - 1}

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Je vergist je. Het is een vraag of er zich oneindigheden bevinden tussen ℕ en ℝ, niet of er oneindigheden zijn tussen 𝓟(ℕ) en ℝ
Voor zover ik daarvan op de hoogte ben heeft men bewezen dat de vraag of zich oneindigheden bevinden tussen ℕ en ℝ, onoplosbaar is met de huidige axioma's.

Beide zijn niet te bewijzen, dit is het continuïteitsprobleem.

Neen, het continuïteitsprobleem beperkt zich enkel tot de vraag of er zich een oneindigheid bevind tussen ℕ en ℝ.

Er is dus geen bewijs mogelijk dat er tussen 𝓟(ℕ) en ℝ zich geen andere machtigheid bevindt.

Hier een schets om een bijectie te bekomen tussen 𝓟(ℕ) en het reële interval tussen 0 en 1.

Allereerst maken we een bijectie tussen 𝓟(ℕ) en zichzelf, die alle verzameling wiens complement een eindige verzameling is, wegwerkt. We doen dat door eindige verzamelingen af te beelden op de verzameling met alle elementen 1 groter en alle alle verzamelingen wiens complement eindig is, eerst te complementeren, dan de verzameling met alle elementen te nemen die 1 groter zijn en daar dan 0 aan toe te voegen.

Dus {3, 6, 7} ➔ {4, 7, 8} en {0, 1, 4, 5, 8, 9, ...} ➔ {0, 4, 7, 8}

Daarna gebruiken we de volgende functie om van een deelverzameling van ℕ naar een getal tussen 0 en 1 te gaan.

f(V) = ∑_n∈V 2^{-n - 1}

Nee.

Het probleem is of er zich tussen twee termen van de Haleb rij, zich nog andere oneindigheden bevinden.

Dit geeft ook nog verschillende mogelijkheden, het zou bijvoorbeeld kunnen dat er tussen twwe van die getallen er zich oneindig aftelebaar verzamelingen zijn.

PS.
Een andere vraag die open staat is.
Zijn er toch nog meer als Haleb reeks.

Je bewijs zal ik eens bekijken, maar het lijkt me niet deugdelijk.

[axxyanus]

Het probleem is of er zich tussen twee termen van de Haleb rij, zich nog andere oneindigheden bevinden.

Bedoel je de beet-getallen (in het engels Beth numbers)?

[Peter van Velzen]

0000000001 ➔ 0,1000000000
0000000002 ➔ 0,2000000000
0000000003 ➔ 0,3000000000
0000000004 ➔ 0,4000000000
0000000005 ➔ 0,5000000000
0000000006 ➔ 0,6000000000
0000000007 ➔ 0,7000000000
0000000008 ➔ 0,8000000000
0000000009 ➔ 0,9000000000

links en rechts van " ➔ 0" een perfect spiegelbeeld nietwaar? Met eindeloos veel voor- en achterloopnullen ziet het er heel aftelbaar uit!

Ja logisch is het (oneindig) aftelbaar, links staat gewoon een lijst van natuurlijke getallen.
Dus wat wil je hiemee zeggen?????

Ik suggereerde daarmee dat Cantor met zijn diagnaalargument had kunnen bewijzen dat de natuurlijke getallen niet aftelbaar. zijn, maar dat is natuurlijk niet waar zoals axxyanus al zegt.

Ik vermoed wel dat de rationale getallen niet aftelbaar zijn. Ze lijken eenvoudig aftelbaar als je de mooie zigzag methode gebruikt om ze te ordenen die hier wordt getoond. Maar als je een andere volgorde gebruikt, dan lukt het niet. Zou je immers eerst de rationele getallen die geheel links (van de vorm n/1) paren aan natuurlijke getallen en je vervolgens met de tweede colom wilt verder gaan, dan zouden inmiddels alle natuurlijke getallen al aan een breuk uit de eerste kolom gekoppeld zijn. Dat de aftelbaarheid afhankelijk is van de volgorde vindt ik eerlijk gezegd nogal verdacht. Zoals ik het ook verdacht vindt dat men voor de decimalen tussen 0 en 1 bewust helemaal géén volgorde hanteert. Hoe weet je dan of je elk mogelijk getal precies één keer hebt opgeschreven?

[axxyanus]

Ik vermoed wel dat de rationale getallen niet aftelbaar zijn. Ze lijken eenvoudig aftelbaar als je de mooie zigzag methode gebruikt om ze te ordenen die hier wordt getoond. Maar als je een andere volgorde gebruikt, dan lukt het niet. Zou je immers eerst de rationele getallen die geheel links (van de vorm n/1) paren aan natuurlijke getallen en je vervolgens met de tweede colom wilt verder gaan, dan zouden inmiddels alle natuurlijke getallen al aan een breuk uit de eerste kolom gekoppeld zijn. Dat de aftelbaarheid afhankelijk is van de volgorde vindt ik eerlijk gezegd nogal verdacht.

De aftelbaarheid is niet afhankelijk van de volgorde. Of de contructie van je relatie uiteindelijk leidt tot een bijectie is afhankelijk van de volgorde.

Maar dat zou geen verrassing mogen zijn. Als je een bijectie binnen ℕ wil en je zou beginnen met alle even getallen, dan lukt dat niet. Als je een relatie wil tussen ℤ en ℕ, waarbij je eerst alle negatieve getallen wil dan lukt het ook niet. Het is dus geen probleem als sommige relaties tussen een verzameling en ℕ geen bijectie zijn.

En er is natuurlijk meer dan een manier om een bijectie tussen ℚ en ℕ te construeren. Je hebt de Calkin–Wilf rij., die heeft zelfs het voordeel dat je elk element van ℚ⁺ maar een keer tegenkomt. Alle breuken zijn vereenvoudigde breuken. Persoonlijk verkies ik een rij gebaseerd op de Stern–Brocot boom. Die kan je opstellen volgens een soort driehoek van Pascal algoritme op de tellers en noemers.

Zoals ik het ook verdacht vindt dat men voor de decimalen tussen 0 en 1 bewust helemaal géén volgorde hanteert. Hoe weet je dan of je elk mogelijk getal precies één keer hebt opgeschreven?

Dat is niet belangrijk. Er is een stelling die zegt dat als je twee verzamelingen hebt A en B en er bestaat een surjectie van A naar B en een surjectie van B naar A, dan bestaat er een bijectie tussen A en B. Dus als er een getal meerdere malen zou voorkomen dan zou je een surjectie hebben van ℕ naar ℝ. Een surjectie van ℝ naar ℕ vinden is helemaal niet moeilijk, je gebruikt gewoon de afrondingsfunctie.

Dus het diagonaal argument van Cantor stelt dat je geen surjectie van ℕ naar ℝ kan vinden, m.a.w. er zullen steeds reële getallen zijn die ontbreken.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Het probleem is of er zich tussen twee termen van de Haleb rij, zich nog andere oneindigheden bevinden.

Bedoel je de beet-getallen (in het engels Beth numbers)?

Nee deze.

https://de.wikipedia.org/wiki/Aleph-Funktion

Bekijk ook dit.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kontinuumshypothese

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Ik vermoed wel dat de rationale getallen niet aftelbaar zijn. Ze lijken eenvoudig aftelbaar als je de mooie zigzag methode gebruikt om ze te ordenen die wordt getoond. Maar als je een andere volgorde gebruikt, dan lukt het niet.

Dat klopt maar dat zegt natuurlijk niets.
Je bent weer bezig om iets wat voor EINDIGE verzamelingen geldt op ONEIDIGE van toepassing te verklaren.
Dat mag gewoon niet, als je dat toch doet ja dan loopt het vast.

PS.
Ik heb zoiets al eens op het Wetenschapsforum gezien.
Ook daar was er iemand die zich door niemand liet overtuigen.
Kan het zijn dat........ ????

[axxyanus]

Bekijk ook dit.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kontinuumshypothese

Ik zie niet wat het probleem hier is met het feit dat er een bijectie is tussen 𝓟(ℕ) en ℝ. Het bestaan van zo'n bijectie, bevestigt noch ontkent de continuümhypothese.

[axxyanus]

Hier een andere benadering voor een bijectie tussen 𝓟(ℕ) en ℝ: https://math.stackexchange.com/question ... al-numbers

[Peter van Velzen]

Ik vermoed wel dat de rationale getallen niet aftelbaar zijn. Ze lijken eenvoudig aftelbaar als je de mooie zigzag methode gebruikt om ze te ordenen die wordt getoond. Maar als je een andere volgorde gebruikt, dan lukt het niet.

Dat klopt maar dat zegt natuurlijk niets.
Je bent weer bezig om iets wat voor EINDIGE verzamelingen geldt op ONEIDIGE van toepassing te verklaren.
Dat mag gewoon niet, als je dat toch doet ja dan loopt het vast.

En wat doet de zig-zag-methode anders, dan iets wat voor eindige verzamelingen geldt op een (NB in twee dimensies) oneindige verzameling van toepassing verklaren?
r

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Ik vermoed wel dat de rationale getallen niet aftelbaar zijn. Ze lijken eenvoudig aftelbaar als je de mooie zigzag methode gebruikt om ze te ordenen die wordt getoond. Maar als je een andere volgorde gebruikt, dan lukt het niet.

Dat klopt maar dat zegt natuurlijk niets.
Je bent weer bezig om iets wat voor EINDIGE verzamelingen geldt op ONEIDIGE van toepassing te verklaren.
Dat mag gewoon niet, als je dat toch doet ja dan loopt het vast.

En wat doet de zig-zag-methode anders, dan iets wat voor eindige verzamelingen geldt op een (NB in twee dimensies) oneindige verzameling van toepassing verklaren?
r

Je bewijst daarmee dat ze een oneindige rij vormen en dat elke breuk in die rij staat
Immers kies een breuk en loop de rij af en vroeg of laat kom je hem regen..