Geloven en weten

[The Black Mathematician]

In de wiskunde zijn je axioma's geen tautologieën. Integendeel. Je axioma's zijn beweringen als:

Voor elke verzameling van getallen die van boven begrensd is, is er een getal dat de kleinste bovengrens is.

Of:

Er bestaat een verzameling met oneindig veel elementen.

Of :

Voor alle reële getallen a en b geldt a+b=b+a.

Dat zijn axioma's. Een tautologie is een bewering afhangende van variabelen p_1, p_2, ... die waar is ongeacht of p_1, p_2, ... al dan niet waar zijn.
Tautologieën zijn bijvoorbeeld
(p_1 en p_2) impliceert (p_1 of p_2)
(p_1 impliceert p_2) dan en slechts dan als ( (niet p_2) impliceert (niet p_1) )
p_1 of (niet p_1)

p_1 en (niet p_1) is geen tautologie, sterker nog, het is het tegenovergestelde van een tautologie, want het is nooit waar, ongeacht of p_1 waar is of niet.
(p_1 of p_2) impliceert (p_1 en p_2) is geen tautologie.

[bipolair]

Ik zal mijn positie aangaande wiskunde in deze even moeten heroverwegen. Tot nu toe gemaakte opmerkingen mijnderwege trek ik dan even terug daar het mijn lijkt toe te schijnen dat er enkele zeer krachtige tegenargumenten worden geleverd.

[bipolair]

Maar uiteraard ben ik wel eigenwijs en doe nog een gooii. misschien bevreemd dit de lezers wel, maar ik vind discussie een aangewezen methode om dingen bij te leren...

Bipolair: eerst stel je dat een eenvoudige redenering een tautologie is.

Misschien heb ik me verkeerd uitgedrukt in deze. Een tautologie kan een zeer gecompliceerde redenering zijn. Vooral als de redenering tussenconclusies behelst die ook allemaal tautologiën zijn.

Maar volgens mij is dat pas een tautologie als je het optellen hebt bewezen. Daarmee is het een a posteriori tautologie en geen a priori tautologie.

Een a-posteriori redenering is een redenering als de waarheid alleen door waarneming kan worden bevestigd of ontkent.

a posteriori (Lat., = achteraf), een term die in het bijzonder sedert Immanuel Kant díe kennis aanduidt die uitsluitend op ervaring berust; staat tegenover a priori.
Microsoft ® Encarta ® Winkler Prins Encyclopedie 2007. © 1993-2006 Microsoft Corporation/Het Spectrum. Alle rechten voorbehouden.

Heb jij een waarneming nodig om te stellen dat een vierkant (op een plat vlak) vier zijdes heeft?

Als ik stel dat dat 3+2 = 5 heb jij daar een specifieke waarneming voor nodig om dat te bewijzen?

Ik denk dan dat het bewijs hoe dan ook a-priori geleverd kan worden (zonder waarneming) en tautologisch van aard is.

Als jij stelt dat deze berekening a-posteriori wordt bewezen dan krijg je naar mijn idee nogal een omvangrijke methode om dit te bewijzen. Immers je zal dan bijvoorbeeld lucifer houtjes moeten optellen. En hiermee nog niets bewijzen, immers, als het bewijs a-posteriori is dan blijft het inductie probleem in deze staande. Een optelling is dan niet te bewijzen als absoluut.

Dan je voorbeelden. Ik vrees dat ik het daar nog steeds niet mee eens ben. Trivialiteit ontneemt niet de noodzaak tot het leveren van bewijzen, ook niet bij veronderstelde tautologien.

Nee, maar deze bewijzen worden mijns inziens in de wiskunde a-priori bewezen. En mijns inziens zijn deze bewijzen ook tautologisch van aard. Immers een stelling kan bij deductie niet ineens wat anders betekenen.

Immers, tot het moment dat het bewijs geleverd is, is de stelling zelf nog geen tautologie en kan je dus alleen maar achteraf (a posteriori) stellen dat er sprake is van een tautologie.

Is het bewijs dan a-posteriori geleverd? Hoeveel driehoeken moet ik tekenen voordat ik de conclusie mag trekken dat een driehoek drie zijdes heeft?

Je wilde trouwens een prijs uitloven voor een stelling die geen a priori tautologien zou bevatten? Begin maar even uit te delen. ik heb er al twee voor je: vier-kleurenprobleem en het Whitehead probleem.

O.k. hier ontbreekt nog wat ervaring in de wiskunde mijnerzijds dus heelaas kan ik dat niet becommentariseren.

Overigens ben ik het ook niet met je eens dat wiskunde zijn basis zou verliezen op het moment dat de a priori tautologien niet meer bewijsbaar zouden zijn. Dat bestrijd ik ook.

Maar laat ik dan mijn opmerking herhalen;
Als wiskunde enkel en alleen a-priori is waarop baseert men de geldigheid van een redenatie?

Als wiskunde a-posteriori is hoe vaak moet ik dan een bewijs leveren van een wiskundige stelling. Immers zo worden de stellingen toch afhankelijk van waarnemingen?

Soms kan juist er een nieuwe tak van wiskunde uit volgen. Neem nu maar de stellingen van Euclides. De stellingen konden allemaal bewezen worden aan de hand van de eerste vier. De vijfde kreeg men maar niet bewezen. Juist door een nieuwe, overkoepelende hogere orde logica erop los te laten, kwam me erachter dat de Euclidische meetkunde een speciaal geval was van allemaal soorten wiskunde waarna er een heel nieuwe tak van wiskunde uit ontstond.

Werd dit a-posteriori (op ervaring berustend vastgesteld) of a-priori?

On foundations we believe in the reality of mathematics, but of course when philosophers attack us with their paradoxes we rush to hide behind formalisms and say "Mathematics is just a combination of meaningless symbols". Finally we are left in peace to go back to our mathematics and do as we have always done, with the feeling each mathematician has that he is working on something real. This sensation is probably an illusion, but is very convenient.

Fragment uit;
Euclidian and Non-Euclidian Geometries

[siger]

Ik vind het eigenlijk een moeilijk vraagstuk want (en dit is persoonlijk) het middeleeuws denken vind ik dom maar als je kijkt naar de oude grieken kun je er nog veel van leren. En dat stukje snap ik eigenlijk niet, dus als iemand mij daarvoor opheldering kan geven, graag!

Hier een samenvatting van wat ik denk, zonder zekerheid dat dit tegen alle kritiek bestand is.

1. Gedrag ontstaat door evolutie. Gedachten zijn beelden van gedrag. Als ik een krammetje in de muur sla, ontstaat eerst de gedachte en dan de uitwerking. In de evolutie was het andersom: primaten hebben gedurende vele duizenden jaren mergpijpen stukgeslagen met scherpe stenen, vóór er iets ontstond als een vooraf uitgedacht plan om zoiets te doen.
2. Denken is kiezen tussen verschillende gedachten. Dieren, en mensen waarschijnlijk het meest van alle dieren, kunnen kiezen tussen gedachten, en dus denken.
3. De grote doorbraak van het menselijk denken is ontstaan door uitwisseling. Prehistorische mensen hebben hun verscheidenheid aan gedachten vergroot door gedrag te copieren van mensen met verschillende tradities. Eenmaal deze evolutie tot het ontstaan van taal leidde, werd deze uitwisseling versneld tot het punt waarop "denken" is geworden wat wij nu kennen.

Deze basisregel vinden we ook terug in de beschavingsgeschiedenis waar je naar verwijst. Vóór Wereldoorlog II waren de meeste academici het erover eens dat grote ideeën eigen waren aan het "indogermaanse ras", en vooral de Griekse vertegenwoordigers daarvan. Met een beetje duwen (Ionië was Aziatisch, maar dat was haarklieverij) werd het Europese of zelfs het germaanse ras de wereldbeschaver gemaakt. Toen Hitler afdoende had aangetoond dat noch het ras noch de theorie uitzonderlijk deugdzaam was, volgde academische stilte. De meeste handboeken over filosofie en wetenschap vangen nog steeds aan met Griekenland, maar zeggen niet waarom.

Filosofie en wetenschap komen niet van één superras dat de wereld heeft onderricht, maar van brede uitwisseling.

Het Perzische rijk was het eerste wereldrijk, dat zich tegen het einde van de zesde eeuw BCE uitstrekte van de Nijl tot de Indus. Het Griekse denken - en onrechtstreeks ook de moderne wereld - heeft, denk ik, haar bronnen in de uitwisseling die hier het gevolg van was. Ons mensbeeld heeft wortels in de Egyptische dodenrollen, ons natuurbeeld in de Indische vier elementen, om maar enkele zaken te noemen.

Na het Perzische rijk volgde een enorme groei van wetenschappelijke kennis die eerst afgebroken werd door de machtsovername door het christendom, acht eeuwen later. De uitwisseling van wetenschap en filosofie weed geblokkeerd in het Westen in de vierde eeuw. De juiste gang van zaken blijft onderwerp van een verhit debat tussen christenen en andersdenkenden (zie vb. http://www.bede.org.uk/freeman.htm), maar het lijkt me wel zeker dat het christendom met harde hand opgelegd werd door keizer Theodosius na het concilie van Nicene. Zeker is dat Augustinus, die fulmineerde tegen filosofie en wetenschap, als de ideoloog van "the closing of the European mind" (een boek van Ch. Freeman) beschouwd mag worden. Augustinus schreef bijvoorbeeld dat "Het volstaat voor de christen te geloven dat de oorzaak van alles wat geschapen is, in de hemel en op aarde, zichtbaar en onzichtbaar, enkel de goedheid van de schepper is, van de enige ware god".

Maar het Westers Romeinse rijk was reeds in verval. Augustinus had gebluft dat de wereld helemaal christelijk was, maar de christenen van Syrie, Iran en Irak bleven uit de klauwen van Theodosius. De werken die daar bewaard bleven zouden enkele eeuwen later de basis vormen van bloeiende wetenschappen in de paleizen van de islamitische kalifaten, ondanks de aanhoudende kritieken van de moslim-geestelijkheid. De bibliotheek van Baghdad die in de achtste eeuw werd opgericht was voor lange tijd de grootste van de wereld.

Toen in de tiende eeuw een kalifaat in Córdoba tot stand kwam en een deel van Spanje Moors werd, stak Córdoba Baghdad al vlug naar de kroon. En, wanneer tenslotte Spanje terug in handen van Europa viel, reisden nieuwsgierige monniken naar Al Andalus om er de werken van Aristoteles etc... uit het Arabisch te vertalen. Zo werd de strijd tussen wetenschap en christendom hervat die vandaag nog zichtbaar is (zie vb. http://nl.wikipedia.org/wiki/Siger_van_Brabant , ook voor een verklaring van mijn nick).

[Sararje]

Bipolair volgens mij blijf je redeneerfouten maken. Ten eerste: het is niet gesteld dat de som van een reeks tautologien weer een nieuwe tautologie oplevert. Om een simpel wiskundig voorbeeld te nemen: de tautologie dat 1+1=2 en de tautologie 1*1=1 leveren op geen enkele manier de tautologie dat exp(i*pi)=-1 op. Als wiskunde een reeks van uitsluitend tautologien zou zijn, dan ga je voorbij aan het feit dat er ook bepaalde axiomas zijn en bepaalde afspraken zijn die niet bewijsbaar zijn (je weet wel, Popper vs. Russel). Dit staat onafhankelijk van hoeveel driehoeken je tekent.
Nu specifiek over je beweringen:

Heb jij een waarneming nodig om te stellen dat een vierkant (op een plat vlak) vier zijdes heeft?

Jazeker, want je zit al met een paar problemen: Als belangrijkste zal je moeten bewijzen dat het vlak waarin zich het vierkant bevindt euclidisch vlak is. Laat ik het probleem eens naar de dagelijkse werkelijkheid verplaatsen. Stel ik heb een landkaart en prik daarop drie punten. Door die drie punten moet ik het oppervlak bepalen. Hoe bepaal ik dat oppervlak? Neem ik de landkaart en neem de projectiefout voor lief en maar daarmee een systematische fout of neem ik de drie punten als een soort bolcoordinaten maar dan is het geen driehoek meer want de zijden zijn dan principieel niet meer recht.
Dat is exact het probleem van niet-Euclidische meetkunde. Je kan de vijfde stelling van Euclides alleen bewijzen als je aanneemt dat het vlak ook vlak is. Die aanname kan je niet bewijzen. Dus of je doet die aanname en dan kan je het bewijzen (met het zeer duidelijk aanwezige probleem van die meetfout), of je doet die aanname niet (en dan kom je op het terrein van niet-Euclidische meetkunde) en dan kan je het bewijs ook niet leveren.

Als ik stel dat dat 3+2 = 5 heb jij daar een specifieke waarneming voor nodig om dat te bewijzen? Als jij stelt dat deze berekening a-posteriori wordt bewezen dan krijg je naar mijn idee nogal een omvangrijke methode om dit te bewijzen. Immers je zal dan bijvoorbeeld lucifer houtjes moeten optellen. En hiermee nog niets bewijzen, immers, als het bewijs a-posteriori is dan blijft het inductie probleem in deze staande. Een optelling is dan niet te bewijzen als absoluut.

Oh ja, daar is zeker een bewijs voor te leveren zonder inductieprobleem of a posteriori methodieken. Linkje:
http://mathforum.org/library/drmath/view/51551.html
Overigens, sinds wanneer is de omvang van een bewijs een maar voor de geldigheid van een methodiek? Het bewijs voor de beroemde laatste stelling van Fermat telt ruim honderd paginas. Het bewijs voor het vierkleurenprobleem is aantoonbaar niet tijdens de lengte van een mensenleven te berekenen. Toch wordt de eerste momenteel uitgebreid geaccepteerd en is de tweede door een computer geleverd en ook geaccepteerd.

Als wiskunde enkel en alleen a-priori is waarop baseert men de geldigheid van een redenatie? Als wiskunde a-posteriori is hoe vaak moet ik dan een bewijs leveren van een wiskundige stelling. Immers zo worden de stellingen toch afhankelijk van waarnemingen?

Sorry maar hier denk je toch echt heel bipolair (je doet je nickname eer aan). Niet alle stellingen zijn bewijsbaar zoals al gezegd en vaak is het niet zo zwart-wit als jij stelt dat wiskunde geheel a priori of geheel a posteriori werkt.

[bipolair]

Bipolair volgens mij blijf je redeneerfouten maken. Ten eerste: het is niet gesteld dat de som van een reeks tautologien weer een nieuwe tautologie oplevert.

We hebben het ook niet over de som maar elke opeenvolgende deductie.

Om een simpel wiskundig voorbeeld te nemen: de tautologie dat 1+1=2 en de tautologie 1*1=1 leveren op geen enkele manier de tautologie dat exp(i*pi)=-1 op. Als wiskunde een reeks van uitsluitend tautologien zou zijn, dan ga je voorbij aan het feit dat er ook bepaalde axiomas zijn en bepaalde afspraken zijn die niet bewijsbaar zijn (je weet wel, Popper vs. Russel). Dit staat onafhankelijk van hoeveel driehoeken je tekent.

Nee dat is vrij logisch, de tautologie een geel object is geel zegt niets over een wit object. Ik stel (laat ik daar heel duidelijk over zijn) NIET dat wiskunde op één axioma is te herleiden. Ik stel enkel dat wiskunde a priori tautologisch is.

Nu specifiek over je beweringen:

Heb jij een waarneming nodig om te stellen dat een vierkant (op een plat vlak) vier zijdes heeft?

Jazeker, want je zit al met een paar problemen: Als belangrijkste zal je moeten bewijzen dat het vlak waarin zich het vierkant bevindt euclidisch vlak is. Laat ik het probleem eens naar de dagelijkse werkelijkheid verplaatsen. Stel ik heb een landkaart en prik daarop drie punten. Door die drie punten moet ik het oppervlak bepalen. Hoe bepaal ik dat oppervlak? Neem ik de landkaart en neem de projectiefout voor lief en maar daarmee een systematische fout of neem ik de drie punten als een soort bolcoordinaten maar dan is het geen driehoek meer want de zijden zijn dan principieel niet meer recht.

Nu verschuif je enigzins de discussie. De vraag was uitermate simpel, hoe vaak moet ik een vierkant op een plat vlak tekenen om te weten dat dit figuur vier zijdes heeft.

Dat men in topografie inderdaad met a-posteriori (feiten) werkt geeft mij geen beklemmend gevoel. Net zo min dat men in natuurkunde men met a posteriori (feiten) werkt. Maar dat wil nog niet zeggen dat de aard van wiskunde ineens verandert.

Daar aan toe voegend zou ik wikllen vragen; Als wij dit a-posteriori zouden willen bevestigen kan dit dan gefalsificeerd worden omdat wij ineens een vierkant met bijv 5 zijdes waarnemen?

Dat is exact het probleem van niet-Euclidische meetkunde. Je kan de vijfde stelling van Euclides alleen bewijzen als je aanneemt dat het vlak ook vlak is. Die aanname kan je niet bewijzen. Dus of je doet die aanname en dan kan je het bewijzen (met het zeer duidelijk aanwezige probleem van die meetfout), of je doet die aanname niet (en dan kom je op het terrein van niet-Euclidische meetkunde) en dan kan je het bewijs ook niet leveren.

Naar mijn weten (terugvallende op de boeken die ik heb, en corrigeer me altublieft wanneer ik het fout heb) is het vijfde axioma helemaal niet te bewijzen. A priori kan men al stellen dat wij nooit in de positie zijn om dit (op generlei wijze) te bewijzen.

Als ik stel dat dat 3+2 = 5 heb jij daar een specifieke waarneming voor nodig om dat te bewijzen? Als jij stelt dat deze berekening a-posteriori wordt bewezen dan krijg je naar mijn idee nogal een omvangrijke methode om dit te bewijzen. Immers je zal dan bijvoorbeeld lucifer houtjes moeten optellen. En hiermee nog niets bewijzen, immers, als het bewijs a-posteriori is dan blijft het inductie probleem in deze staande. Een optelling is dan niet te bewijzen als absoluut.

Oh ja, daar is zeker een bewijs voor te leveren zonder inductieprobleem of a posteriori methodieken. Linkje:
http://mathforum.org/library/drmath/view/51551.html

Gelukkig dat iets a-priori tautologisch kan bewezen worden toch?

Overigens, sinds wanneer is de omvang van een bewijs een maar voor de geldigheid van een methodiek?

Waar stel ik dat? Ik stel dat wanneer wiskundige bewijzen a-posteriori worden gedaan men sowieso een zeer omvangrijke methode zou krijgen die nooit een bevredigende zekerheid zullen hebben omdat (wanneer dit de methode zou zijn) elke wiskundige stelling onderhevig is aan het inductie probleem.

Het bewijs voor de beroemde laatste stelling van Fermat telt ruim honderd paginas. Het bewijs voor het vierkleurenprobleem is aantoonbaar niet tijdens de lengte van een mensenleven te berekenen. Toch wordt de eerste momenteel uitgebreid geaccepteerd en is de tweede door een computer geleverd en ook geaccepteerd.

Het maakt mij niet uit hoe lang een bewijsvoering is, maar het gaat om de aard van de bewijsvoering.

Als wiskunde enkel en alleen a-priori is waarop baseert men de geldigheid van een redenatie?

Als wiskunde a-posteriori is hoe vaak moet ik dan een bewijs leveren van een wiskundige stelling. Immers zo worden de stellingen toch afhankelijk van waarnemingen?

Sorry maar hier denk je toch echt heel bipolair (je doet je nickname eer aan). Niet alle stellingen zijn bewijsbaar zoals al gezegd en vaak is het niet zo zwart-wit als jij stelt dat wiskunde geheel a priori of geheel a posteriori werkt.

Maar voorlopig draai jij ook behoorlijk om de vraagstelling heen. Ik weet dat je qua wiskunde meer dan mij weet maar ik vraag me af of jij begrijpt wat het zou betekenen als wiskundige stellingen anders dan a priori tautologisch zouden bewezen moeten worden. Met name inzake de geldigheid van de stelling.

Derhalve wil ik ook opmerken dat er wiskundige stellingen die niet altijd bewezen kunnen worden maar dat wel bewezen kan worden dat zij niet bewezen kunnen worden.

[The Black Mathematician]

[...]

Dat is exact het probleem van niet-Euclidische meetkunde. Je kan de vijfde stelling van Euclides alleen bewijzen als je aanneemt dat het vlak ook vlak is. Die aanname kan je niet bewijzen. Dus of je doet die aanname en dan kan je het bewijzen (met het zeer duidelijk aanwezige probleem van die meetfout), of je doet die aanname niet (en dan kom je op het terrein van niet-Euclidische meetkunde) en dan kan je het bewijs ook niet leveren.

Naar mijn weten (terugvallende op de boeken die ik heb, en corrigeer me altublieft wanneer ik het fout heb) is het vijfde axioma helemaal niet te bewijzen. A priori kan men al stellen dat wij nooit in de positie zijn om dit (op generlei wijze) te bewijzen.
[...]

Toch klopt het. Als je aanneemt dat de ruimte vlak is, kun je inderdaad het vijfde axioma bewijzen. Andersom volgt uit het vijfde axioma dat de ruimte vlak is. Met andere woorden: het vijfde axioma en de aanname dat de ruimte vlak is, zijn equivalent.

Je zou dus het vijfde axioma kunnen laten vallen en in plaats daarvan als axioma kunnen opnemen dat de ruimte vlak is. Dan houdt je precies dezelfde meetkunde over.
Het axioma dat de ruimte vlak is, is dus een andere, equivalente, formulering van het vijfde axioma.

Laat je het vijfde axioma vallen en je neemt ook niet op dat de ruimte vlak is, dan blijkt dat er ineens oneindig veel soorten meetkunde aan de axioma's voldoen, die allemaal op één na niet vlak zijn.

[Sararje]

Bipolair volgens mij blijf je redeneerfouten maken. Ten eerste: het is niet gesteld dat de som van een reeks tautologien weer een nieuwe tautologie oplevert.

We hebben het ook niet over de som maar elke opeenvolgende deductie.

Zelfs daarvoor gaat je verhaal niet op. Je zal soms onbewust een bewezen stelling
kunnen nemen die achteraf een axioma of een speciaal geval van een stelling blijkt te zijn waardoor de algemenere variant niet meer op hoeft te gaan. Neem maar zoiets simpels als de omtrek van een lichaam. Bepaal de omtrek van een lichaam is een eersteklas opgave zou je zeggen. Ook als het een vreemde vorm zoals een fractal betreft? En zo kan je nog zelf meer voorbeelden bedenken.

Om een simpel wiskundig voorbeeld te nemen: de tautologie dat 1+1=2 en de tautologie 1*1=1 leveren op geen enkele manier de tautologie dat exp(i*pi)=-1 op. Als wiskunde een reeks van uitsluitend tautologien zou zijn, dan ga je voorbij aan het feit dat er ook bepaalde axiomas zijn en bepaalde afspraken zijn die niet bewijsbaar zijn (je weet wel, Popper vs. Russel). Dit staat onafhankelijk van hoeveel driehoeken je tekent.

Nee dat is vrij logisch, de tautologie een geel object is geel zegt niets over een wit object. Ik stel (laat ik daar heel duidelijk over zijn) NIET dat wiskunde op één axioma is te herleiden. Ik stel enkel dat wiskunde a priori tautologisch is.

Hoeft helemaal niet zie mijn talloze voorbeelden.

Nu specifiek over je beweringen:

Heb jij een waarneming nodig om te stellen dat een vierkant (op een plat vlak) vier zijdes heeft?

Jazeker, want je zit al met een paar problemen: Als belangrijkste zal je moeten bewijzen dat het vlak waarin zich het vierkant bevindt euclidisch vlak is. Laat ik het probleem eens naar de dagelijkse werkelijkheid verplaatsen. Stel ik heb een landkaart en prik daarop drie punten. Door die drie punten moet ik het oppervlak bepalen. Hoe bepaal ik dat oppervlak? Neem ik de landkaart en neem de projectiefout voor lief en maar daarmee een systematische fout of neem ik de drie punten als een soort bolcoordinaten maar dan is het geen driehoek meer want de zijden zijn dan principieel niet meer recht.

Nu verschuif je enigzins de discussie. De vraag was uitermate simpel, hoe vaak moet ik een vierkant op een plat vlak tekenen om te weten dat dit figuur vier zijdes heeft.

Dan lees je over mijn punt heen. Bewijs jij maar dat jouw vlak ook daadwerkelijk Euclidisch vlak is voordat je vierkantjes gaat tekenen.

Dat men in topografie inderdaad met a-posteriori (feiten) werkt geeft mij geen beklemmend gevoel. Net zo min dat men in natuurkunde men met a posteriori (feiten) werkt. Maar dat wil nog niet zeggen dat de aard van wiskunde ineens verandert.
Daar aan toe voegend zou ik wikllen vragen; Als wij dit a-posteriori zouden willen bevestigen kan dit dan gefalsificeerd worden omdat wij ineens een vierkant met bijv 5 zijdes waarnemen?

Neen, nu haal je mijns insziens definitie en stelling door elkaar. Het is een definitie dat een vierkant een figuur is met vier rechte zijden en vier rechte hoeken maar het is een stelling dat alles wat vier rechte hoeken en vier rechte zijden heeft, een vierkant is. Dan moet je dus de stelling hardmaken dmv argumenten en ik heb je al gezegd dat bepaalde argumenten hiervan niet te herleiden zijn tot a priori tautologien.

Dat is exact het probleem van niet-Euclidische meetkunde. Je kan de vijfde stelling van Euclides alleen bewijzen als je aanneemt dat het vlak ook vlak is. Die aanname kan je niet bewijzen. Dus of je doet die aanname en dan kan je het bewijzen (met het zeer duidelijk aanwezige probleem van die meetfout), of je doet die aanname niet (en dan kom je op het terrein van niet-Euclidische meetkunde) en dan kan je het bewijs ook niet leveren.

Naar mijn weten (terugvallende op de boeken die ik heb, en corrigeer me altublieft wanneer ik het fout heb) is het vijfde axioma helemaal niet te bewijzen. A priori kan men al stellen dat wij nooit in de positie zijn om dit (op generlei wijze) te bewijzen.

Moet het zelf ook even nakijken maar ik meen dat als je vast hebt gesteld dat het oppervlak vlak is, je dit wel kon bewijzen. Of je bewijst dat het vlak ook echt vlak is, en dan kan je Euclides niet bewijzen of je bewijst Euclides maar dan moet je aannemen (en dat kan je niet bewijzen) dat het vlak ook echt vlak is. Het is een soort geit-kool situatie. Je kan niet de geit en de kool sparen hierin.

Het bewijs voor de beroemde laatste stelling van Fermat telt ruim honderd paginas. Het bewijs voor het vierkleurenprobleem is aantoonbaar niet tijdens de lengte van een mensenleven te berekenen. Toch wordt de eerste momenteel uitgebreid geaccepteerd en is de tweede door een computer geleverd en ook geaccepteerd.

Het maakt mij niet uit hoe lang een bewijsvoering is, maar het gaat om de aard van de bewijsvoering.

Volgens mij is een computerbewijs noch a priori noch a posteriori. En daarmee heb je een prima tegenvoorbeeld. Het vierkleurenprobleem is namelijk dmv computerberekening opgelost.

[stividubi]

Wat ik wel doe, en blijkbaar ergert jou dit mateloos, is vrij denken over de mogelijkheid dat onze huidige materialistische denkkader gaat bepalen wat we wel en wat we niet kunnen begrijpen of vatten. En in die optiek sluit ik dat er misschien wel zaken zijn die we niet met ons huidig denken niet kunnen vatten niet a priori uit, zonder er van overtuigd te zijn dat er wel iets meer moet zijn. Het intrigeert me en maakt mij nieuwsgierig naar andere denkkaders, naar andere filosofieën.

Ik heb eigenlijk de discussie niet gevolgt maar hier zie ik toch niks mee. Zelf heb ik een instelling dat er mogelijk meer dingen zijn die we met onze huidige denken en/of methodes niet weten of kunnen bevatten.

Ik heb diezelfde instelling.
Sorry, als ik de zin die ik geschreven heb herlees, blijkt hij niet helemaal te kloppen. Ik bedoelde echter hetzelfde als wat jij hier nu schrijft

[stividubi]

vrij denken over de mogelijkheid dat onze huidige materialistische denkkader gaat bepalen wat we wel en wat we niet kunnen begrijpen of vatten. En in die optiek sluit ik dat er misschien wel zaken zijn die we niet met ons huidig denken niet kunnen vatten niet a priori uit, zonder er van overtuigd te zijn dat er wel iets meer moet zijn.

Op zich wel een gezonde open houding vind ik. Heb je eigenlijk wat concrete voorbeelden?

Ja... wat we niet kunnen vatten: de oneindigheid van ons heelal. Mijn begripskader laat niet toe dit te vatten, nochtans zit ik met de paradox: als het heelal eindig zou zijn, wat bevindt er zich dan achter dat einde? En de tijd: wanneer is de tijd begonnen? En wat was er dan voor dit begin?

Dit maakt mij niet onzeker, dit beangstigd mij niet, ik wil deze paradoxen ook niet uit de weg gaan, nee dit boeit mij juist... het toont voor mij duidelijk aan dat ons denken, onze hersenen bepaalde zaken gewoonweg niet kunnen vatten. Het toont voor mij aan dat denken een mentale schematisering van de werkelijkheid is van iets dat niet te schematiseren valt. En het maant mij aan tot voorzichtigheid, relativering en tot een geboeide interesse in hoe andere culturen, religieuzen, mystici en meditatiemeesters met diezelfde hersenen tot andere hersenkronkels komen. Zonder naar het andere uiterste te gaan en zomaar te gaan geloven wat hier gezegd wordt. Wetenschappen is voor mij nog steeds de beste en zeker ook nuttigste beschrijving van de werkelijkheid. Maar het blijft in mijn ogen een beschrijving en ik confronteer deze beschrijving voor mezelf dan ook graag met andere mogelijke beschrijvingen. Ik wil mij niet nestelen in het veilige gevoel dat zulk een beschrijving geeft. Geef mij maar het gladde, onveilige ijs, ik ga liever op mijn bek, dan van aan de veilige kant de structuur van het ijs te beschrijven

Een ander voorbeeld: bewustzijn als iets dat "misschien" niet louter voortkomt uit materie, maar er wel afhankelijk van is.
Sommige andere denkkaders maken onderscheid tussen mentaal bewustzijn, het stuk dat afhankelijk is van de hersenen, beïnvloed wordt door het lichaam, door chemische middelen, en activiteiten (bvb. slapen) en het absoluut bewustzijn dat meer omschreven wordt als het aanwezig zijn, het waarnemen o.a. van het mentale bewustzijn. Dit laatste zou geen materiële basis hebben, maar een immateriële, m.a.w. het mentaal bewustzijn zou afhankelijk zijn van het lichaam, het absolute niet, hoewel er wel een wisselwerking zou bestaan tussen lichaam en dit absolute bewustzijn via het mentaal bewustzijn.

Er is eens een interessant onderzoek verricht bij Tibetaanse monniken. Terwijl hen werd gevraagd te mediteren werd hun hersenactiviteit gemeten. Blijkbaar ging deze heel andere patronen vertonen als die van een gewoon wakker persoon. Eerst een iets rustiger patroon (dit werd als alfa-frequentie benoemd) en tenslotte zeer rustige, lange golven (delta genoemd), t.o.v. het normaal bewustzijn van een wakker persoon.
De gemeten hersenactiviteit zouden we kunnen zien als het meetbare mentale bewustzijn. Nu datzelfde alfa niveau en zelfs delta niveau maken wij zelf ook dagelijks mee, maar dan wel in onze slaap (alfa dromen, delta droomloze diepe slaap). Dus eigenlijk mediteren wij op mentaal niveau elke nacht, nochtans zijn wij ons hier niet bewust van. Er is "misschien" mentaal bewustzijn, maar geen absoluut bewustzijn, of beter gezegd geen aanwezig zijn... we zijn niet aanwezig in onze diepe slaap, terwijl de monniken wel beweren compleet aanwezig te zijn in die delta-frequentie.
Het mooie is nu dat men deze frekwentie is gaan nabootsen met geluid (door rechts en links ruis te laten horen met een frequentieverschil die overeenkomt als die alfa of die delta) en dit blijkt een invloed te hebben op de frekwentie van de hersenen. Dus men heeft iets gevonden om het mentale bewustzijn van een Tibetaanse monnik na te bootsen in onze hersenen, en dit is natuurlijk gecommercialiseerd en tegenwoordig overal te verkrijgen in de new age sector. MAAR wat blijkt... dit werkt erg relaxerend en brengt ons meestal in slaap... het mentale wordt nagebootst, maar dit heeft geen invloed op het helder aanwezig blijven.

Natuurlijk bewijst dit niets, helemaal niets, het kan perfect dat we nog niet de juiste stimulus gevonden hebben om dat heldere aanwezig zijn te behouden tijdens de enorm tot rust gebrachte hersenen. Maar het boeit mij wel. Het intrigeert mij.

Wat mij ook intrigeert is dat in datzelfde Tibetaanse boeddhisme beweert wordt dat men die heldere aanwezigheid kan bewaren ook tijdens de droom, de diepe slaap en zelfs na de dood, maar bij dit laatste moet ik ook afhaken, want zoiets kan ik niet vatten.
Dat je helder aanwezig kunt blijven tijdens de droom heb ik wel voor mezelf kunnen bewijzen en dit is echt fantastisch: lucide dromen, bewust zijn in je droom, iedereen met volharding kan dit leren, zoek "lucide dromen" op google.

Je vind deze manier van denken ook terug in Advaita, een hindoeïstische strekking, die via het dualistische denken tracht dat dualistische denken juist te overstijgen om tot een non-dualistische ervaring te komen en van daaruit een andere kijk te krijgen op werkelijkheid.

Het bewuste tegenwoordig Zijn is het oergegeven: het is de oorsprong van alle dingen, zonder begin of eind; het heeft geen oorzaak en het is van niets afhankelijk; het is niet in stukken te delen en is onveranderlijk. Het mentale bewustzijn is contact met de omgeving, de weerkaatsing tegen iets dat wordt waargenomen, een toestand van dualisme. Een denkbewustzijn is onbestaanbaar zonder het Bewuste Zijn, maar het bewuste Zijn is er altijd, ook als er geen denkbewustzijn is zoals in de dieper droomloze slaap.. Het Bewuste Zijn is volmaakt onafhankelijk, maar het mentale bewustzijn is verweven met wat erin verschijnt en altijd bewust van iets. Het mentale bewustzijn is beperkt en veranderlijk.

Ik realiseer mij dat ik door deze post misschien weer een hoop reacties op mijn nek haal, maar laat ik op voorhand duidelijk zijn: ik geloof niet in wat tibetanen of hindoes of wie dan ook beweren, het boeit mij, intrigeert mij en het daagt mij uit om stil te staan bij het het denken op zich, bij dualisme, en de beperktheid van onze hersenen om alles te vatten.

Alvast een zeer gelukkig nieuw jaar gewenst met veel boeiende intellectuele en existentiële uitdagingen.

[The Black Mathematician]

Ik heb ook wel eens lucide gedroomd. Best kewl wanneer je beseft dat je droomt.

[fbs33]

het boeit mij, intrigeert mij en het daagt mij uit om stil te staan bij het het denken op zich, bij dualisme, en de beperktheid van onze hersenen om alles te vatten.

E.e.a. boeide mij eveneens, maar bracht mij naar de vraag, "Wat is een mens", om toen een oplossing te krijgen met witte (oningevulde) vlekken.

Natuurlijk is een mens, evenals andere vormen van leven, een vorm die via een lange weg terug, zijn oorsprong vindt in die veronderstelde oer-soep waarin datgene wat we 'leven' noemen ontstond.
Wat volgens mij al een primitief soort bewustzijn inhield dat een aparte autonomie voor iedere cel afzonderlijk betekende en naar vluchten-vechten of integratie leidde.
Een zaak van materie en energie en het m.i. mogelijk maakte dat er vele vormen van leven ooit in een bepaald tijdgewricht ahw. broertjes en zusjes waren maar in de verlopende tijd naar het heden afsplitsten en afsplitsten naar een diversiteit die wij heden kennen.

Ervaringen opdeden en konden onthouden en specifiek konden doorgeven aan de nazaten, maar tevens onderhevig waren aan selectie van veranderende omstandigheden, etc. etc.
Soms de onderhavige vorm en zijn mutaties wegvaagde en soms alle vormen liet bestaan. (incusief de aanwezige informatie die ontstaan was [m.i.] en te herkennen was/is voor de mens in het gedrag van die andere 'vormen' omdat ze óók in onszelf (nog) aanwezig zijn.)
Ingewikkelder chemie, grotere geheugenbanken leidde automatisch naar een grotere nuancering en daarmee naar meer keuzen-mogelijkheden om vluchten of vechten nauwkeuriger te bepalen om het lichaam als drager van dat alles in stand te kunnen houden!

Nog steeds slechts instinctieve kennis van het heden waarin de vorm rondwandelt en gebruik maakt van zijn ervaringen (in het verleden opgedaan) om bij calamiteiten te reageren.
Maar bij nóg meer geheugen-bezit werd het waarschijnlijk dat bv. een vluchtweg beter of slechter werd bevonden.
En kwam er zoiets als toekomst-besef doordat een bepaald beeld vastgehouden kon worden in de 'gedachte' en náást zo'n ander beeld gehouden, het beeld tevoorschijn deed komen dat de beste keus bepaalde.(een weg die de primaat insloeg en door één soort (de mens als mutatie) werd ingedrongen.

Doel van dit alles is ongetwijfeld om bestaanszekerheid te verkrijgen waar andere diersoorten naar andere oplossingn muteerden en overlééfden!
Met klauwen en krachtige kaken met scherpe tanden- -of naar massaliteit muteerden en bleven bestaan.
Of vele nakomelingen per bevalling waardoor de soort ondanks dat er velen gedood werden/worden, toch op hetzelfde aantal konden blijven bestaan.

Een heel verhaal dat een fantasie is dat zo hier en daar met markante punten evolutionair ondersteund wordt en mij waarschijnlijk voorkomt.

Een verhaal dat gaat over een aards bestaan dat een mensenleven lang duurt.
En daarvoor hersens heeft gekregen om een leven lang dát bestaan zo goed mogelijk te garanderen.

'Eeuwigheid' en 'oneindigheid' zijn zaken die we op aarde- - en dat slechts één leven lang levend, niet nodig hadden/hebben.
We hoeven voor ons bestaan die zaken niet te beheersen en nog minder op zo'n uitgevonden god te projecteren waardoor het velen van onze soort voorkomt dat we de zaken via die projectie tóch in de hand hebben!

Enfin, je kunt troost putten uit het feit dat nieuwsgierigheid een kenmerk is van intelligentie, ergo?

[bipolair]

@sararje & black mathematician;

O.K. ik zal mijn stelling dat wiskunde a-priori tautologisch is intrekken en verder gaan met mijn hobby, wiskunde bestuderen.

Toch zal ik mijn gemaakte opmerking even binnen dit kader willen plaatsen. Ik heb zeker geen zwart wit visie in deze maar durf conclusies te trekken uit dingen die mij bekent zijn. Dan houd ik ook de mogelijkheid open dat ik dus verkeerde conclusies kan trekken.

Waarom ik deze opmerking maak. Ik denk dat we er wel mee eens kunnen zijn dat onze kennis niet altijd a-posteriori ons toekomt en dat a-priori (tautologisch) er veel ware uitspraken gezegd kunnen worden en dat dit ook gebeurt binnen de wetenschap.

De reden dat ik dit onder ogenschouw wil nemen is dat er vaak een zwart wit visie bestaat over wetenschap en dat alle wetenschappelijke uitspraken a-posteriori zijn hetgeen ook niet waar is. Kennis accumuleert en er bestaat geen vaste methode. A-priori uitspraken leveren net zo goed kennis op, sterker nog (ik hoop dat we het daarover wel eens kunnen zijn) a-priori uitspraken zijn zeer belangrijk en een van de fundamenten van wetenschap. Hieraan wordt mijns inziens op discussie fora wel eens (te vaak) voorbij aan gegaan.

[stividubi]

Beste fbs33,

Enfin, je kunt troost putten uit het feit dat nieuwsgierigheid een kenmerk is van intelligentie, ergo?

Oef... je ziet mij toch nog als intelligent... wat een enorme troost

E.e.a. boeide mij eveneens, maar bracht mij naar de vraag, "Wat is een mens", om toen een oplossing te krijgen met witte (oningevulde) vlekken.

Het boeide jou... maar boeit jou blijkbaar niet meer.

Een heel verhaal dat een fantasie is dat zo hier en daar met markante punten evolutionair ondersteund wordt en mij waarschijnlijk voorkomt.

Mij ook. Maar even googelen brengt mij tot een volgend interessant artikel op wiki, nl. dat evolutionisme en geloof in iets hogers elkaar niet hoeven uit te sluiten.
http://nl.wikipedia.org/wiki/The%C3%AFs ... lutionisme
Maar goed, ik zelf geloof ook niet in een schepping, ik haal het gewoon aan om aan te tonen dat dit geen enkel probleem hoeft te zijn voor een ander denkkader. Maar sorry, ik wijk af.

Een verhaal dat gaat over een aards bestaan dat een mensenleven lang duurt. En daarvoor hersens heeft gekregen om een leven lang dát bestaan zo goed mogelijk te garanderen.

Inderdaad, onze hersenen zijn beperkt, ons begripsvermogen is beperkt, wij kunnen niet alles vatten.

'Eeuwigheid' en 'oneindigheid' zijn zaken die we op aarde- - en dat slechts één leven lang levend, niet nodig hadden/hebben. We hoeven voor ons bestaan die zaken niet te beheersen

Inderdaad, om te overleven hoeven we deze zaken niet te beheersen, dus pragmatisch gezien, en blijkbaar ben je een heel pragmatisch iemand, kunnen we ze links laten liggen en voort gaan met overleven en op basis van ons beperkte hersenmogelijkheid gaan voorschrijven hoe het is en hoe het niet is. Ik vind dit zeer primitief. Ik zie het anders: dankzij de evolutie is de mens op een punt gekomen dat hij kan nadenken over zijn eigen denken, over de beperktheid van zijn denken en is hij dus in staat zijn eigen denken te relativeren. Dit relativeren is misschien niet nuttig om te overleven voor zichzelf, maar is wel een stap verder in de richting van een evolutie die de gehele mensheid ten goede zou komen en niet enkel de eigen soort: nl. begrip voor andere denkkaders, begrip voor andere culturen, andersdenkenden.

Zie het als naar een film kijken... als je niet bewust bent dat je naar een film aan het kijken bent, dan kan je de film niet analyseren, dan ga je er helemaal in op. Hetzelfde geldt volgens mij voor: als je je niet bewust bent van het feit dat je denken beperkt is, dan ga je zo op in je denken dat je je eigen denkkader niet juist kan analyseren, laat staan het denkkader van anderen. We hebben dit analyseren niet nodig om te leven (van de film te genieten) maar wel om het leven en anderen te begrijpen (of de film te begrijpen).

en nog minder op zo'n uitgevonden god te projecteren waardoor het velen van onze soort voorkomt dat we de zaken via die projectie tóch in de hand hebben!

Ik ben het hier ook mee eens. Ik vind ook niet dat we alles wat we niet kunnen vatten dan maar moeten onderbrengen onder één noemer, bvb. god, en dit of deze dan gaan vereren in de illusie hiermee vat te krijgen op het onbevattelijke. Misschien maken sommige mensen van religie iets als bovenstaande, maar zit er meer achter.
Ik weet het niet, ik heb niet genoeg handvatten om te begrijpen wat men met het begrip god bedoelt. Ik durf hier dan ook geen uitspraken over doen.
Ik heb het ook gemakkelijker met het boeddhisme, waar er geen sprake is van een god, of met bepaalde strekkingen in het hindoeïsme waar het goddelijke slaat op een potentieel van onze geest dat verder reikt dan ons dagdagelijks dualistische denken. En via deze beschrijvingen heb ik ook minder moeite met mensen die het woord god hanteren, waarschijnlijk komt dat allemaal op hetzelfde neer, maar is het gewoon anders verwoord.
Ik was eens op een lezing van een Tibetaanse Lama die vertelde dat er zelfs in het Tibetaans boeddhisme erg veel strekkingen zijn, die als je ze verstandelijk benaderd zelfs vol tegenstellingen zitten t.o.v. elkaar. Zolang je je het niet eigen hebt kunnen maken om op een ander niveau te leren denken, op een meer non-dualistisch niveau, dan is het beter om er één strekking uit te kiezen die het best bij je past en je daar bij te houden, om verwarring te vermijden. Geen één van de strekkingen is toch juist, iets non-dualistisch uitdrukken in dualistische taal en theorieën leidt onvermijdelijk tot deducties, symboliseringen en onjuistheden. Maar een mens heeft iets nodig om mee te werken... Het einddoel is uiteindelijk dit kader waarmee je gewerkt hebt zelf ook los te laten omdat de uiteindelijke wijsheid in geen enkel kader te vatten valt, het is voorbij de dualiteit en valt niet uit te drukken in dualistische begrippen. Maar eens je de dualiteit hebt overstegen, zijn er geen tegenstrijdigheden meer en kan je moeiteloos alle strekkingen naast elkaar bestuderen.

Dit kan je misschien doortrekken naar andere religies, verschillende strekkingen, die allemaal onjuist zijn, maar wel naar hetzelfde doelen: nl. naar een andere manier om de werkelijkheid te bevatten, een andere manier om onze geest te gebruiken.

In het hindoeïsme wordt God in essentie aangezien voor een projectie van de menselijke geest, net zoals dat het geval was bij Schart en andere middeleeuwse christelijke mystici.

Fijne feesten vanavond...

[fbs33]

Fijne feesten vanavond...

Idem! (ik kom op e.e.a. terug a.s. maandag [bij leven en welzijn uiteraard])
Gelukkig nieuwjaar