Wat is een dimensie?

[The Black Mathematician]

De verwarring wordt weer minder. 3+7i zie ik niet als 1D. Dus ik snapte niet wat er werd bedoeld. Het lijkt slechts een kwestie van spraakgebruik.

Dan zie je dat wiskundig verkeerd.
Het is geen spraakgebruik maar definitie.

Wat is het verschil? Je kunt nog altijd x+yi niet anders beschrijven dan met twee getallen, die je met geen mogelijkhied rekenkundig kunt sommeren. Je kunt niet anders dan ze ten alle tijden uit twee afzonderlijke delen laten bestaan. Je kunt dat wel als één getal definiëren, maar het blijft daar verder bij. Tenzij je het geluk hebt dat je het met x-yi kan vermenigvuldigen. Ik neem aan dat die mogelijkheid wel een reden is, om het toch als eén getal te bezien. Maar waarom spreekt men dan toch ook van een complex vlak? Dat zou je dan weer achterwege moeten laten, Tenzij je dat alleen doet als je het punt op oneindig meeneemt. (want dat ligt evident niet op dezelfde lijn). Zoals het nu op wikipedia staat vind ik het behoorlijk onduidelijk.

Een beetje late reactie, maar Peter heeft hier zowel gelijk als ongelijk.
Een vectorruimte wordt altijd gedefinieerd over een lichaam van zogeheten scalairen. Als je voor dat lichaam de complexe getallen zelf kiest, dan vormen de complexe getallen een 1-dimensionale vectorruimte. Als je de reële getallen als dat lichaam kiest, dan vormen de complexe getallen een 2-dimensionale vectorruimte (en dat komt omdat je elk complex getal met twee reële getallen beschrijft). Er is overigens ook nog een derde keuze voor een lichaam mogelijk, namelijk de breuken. Dit levert een zeer exotische situatie op, de complexe getallen vormen in dat geval een oneindig-dimensionale vectorruimte (dit komt omdat je sommige reële getallen zoals pi niet als een breuk kan beschrijven, maar wel als een de limiet van een oneindig rijtje breuken. Aangezien de reële getallen een deelverzameling van de complexe getallen vormen, volgt dat de complexe getallen over de breuken dus oneindig dimensionaal zijn. Ook de reële getallen vormen een oneindig-dimensionale vectorruimte over de breuken).

Tenslotte is er ook nog iets als de topologische dimensie. Topologisch slaat in dit geval op dat je kijkt naar welke punten in de ruimte dichtbij elkaar liggen. Ongeacht of je de complexe getallen als vectorruimte over de reële getallen of als vectorruimte over de complexe getallen ziet, is de topologische dimensie van de complexe getallen altijd 2. Die van de reële getallen is 1. Dat de reële getallen topologisch gezien anders zijn dan de complexe getallen volgt uit het topologische begrip "samenhangendheid" wat voor concrete meetkundige objecten precies is wat je zou verwachten. Haal een punt weg uit de verzameling van reële getallen, en je houdt twee losse stukken over. Haal een punt weg uit de complexe getallen, en je hebt nog steeds een samenhangende verzameling (omdat de complexe getallen een vlak vormen).

Overigens wordt de topologische dimensie in natuurkunde niet of nauwelijks gebruikt (behalve misschien in avant garde natuurkunde zoals snaartheorie). Als natuurkundigen het over dimensie hebben, hebben ze het vrijwel altijd over de dimensie van een vectorruimte. Die ook meestal over de reële getallen als lichaam van scalairen is.

[Peter van Velzen]

IK zie niet in hoe ik gelijk of ongelijk kan hebben, als ik een vraag stel. Volgens mij snap ik er de ballen van. en de uitleg van The black mathematician is mij even duister als de genoemde wikepia-pagina. Ik zie het aantal dimensies nog altijd als het aantal verschillende getallen dat je in een bepaald geval nodig hebt om iets te beschrijven. Als ze dat niet zijn dan weet ik (nog steeds) niet waar men het over heeft.

[The Black Mathematician]

IK zie niet in hoe ik gelijk of ongelijk kan hebben, als ik een vraag stel. Volgens mij snap ik er de ballen van. en de uitleg van The black mathematician is mij even duister als de genoemde wikepia-pagina. Ik zie het aantal dimensies nog altijd als het aantal verschillende getallen dat je in een bepaald geval nodig hebt om iets te beschrijven. Als ze dat niet zijn dan weet ik (nog steeds) niet waar men het over heeft.

Hier geef je toch aan dat je een definitie van de dimensie hebt? Dus dan kan je gelijk of ongelijk hebben.

In dit geval is je definitie niet heel erg precies, maar komt in de buurt van de precieze definitie. In jouw taalgebruik: om een complex getal te beschrijven in termen van reële getallen, heb je inderdaad twee reële getallen nodig --> de complexe getallen vormen een 2-dimensionale vectorruimte over de reële getallen.
Om een complex getal in termen van een complex getal te schrijven heb je slechts één complex getal nodig --> de complexe getallen vormen een 1-dimensionale vectorruimte over de complexe getallen (net zoals een reëel getal genoteerd kan worden met slechts één reëel getal --> de reële getallen een 1-dimensionale vectorruimte over de reële getallen).

[Peter van Velzen]

Hier geef je toch aan dat je een definitie van de dimensie hebt? Dus dan kan je gelijk of ongelijk hebben.

In dit geval is je definitie niet heel erg precies, maar komt in de buurt van de precieze definitie. In jouw taalgebruik: om een complex getal te beschrijven in termen van reële getallen, heb je inderdaad twee reële getallen nodig --> de complexe getallen vormen een 2-dimensionale vectorruimte over de reële getallen.
Om een complex getal in termen van een complex getal te schrijven heb je slechts één complex getal nodig --> de complexe getallen vormen een 1-dimensionale vectorruimte over de complexe getallen (net zoals een reëel getal genoteerd kan worden met slechts één reëel getal --> de reële getallen een 1-dimensionale vectorruimte over de reële getallen).

Nu begrijp ik je wel. Het draait om het begrip "getal". Maar het lijkt me dat een complex getal - de naam zegt het al - niet als een een-dimensionaal iets moet worden gezien. Dit vooral bezien vanuit de fysica. Of is er iemand in staat om - bij benadering - een meting te doen die een complex getal oplevert? Metingen leveren in feite altijd een rationeel getal op, maar je kunt er dingen als pi of de wortel uit 2, best mee benaderen. Ik zie echter niet in hoe dat met een complex getal moet. Ik ben trouwens benieuwd of er practische toepassingen zijn voor complexe getallen, (buiten de wiskunde dus). Dat ik er geen ken, wil uiteraard niet betekenen dat ze niet bestaan.

[The Black Mathematician]

Nee ik begrijp wel wat je bedoelt. Wiskundig kan je zaken echter dusdanig abstract voorstellen dat het soms tegen de intuitie ingaat. Wat complexe getallen in de natuurkunde betreft, er zijn geen meetbare grootheden bekend die als meetuitkomst complexe getallen kunnen hebben. Toch hebben we complexe getallen nodig om bepaalde fenomenen te beschrijven. Zoals de golffunctie in quantummechanica. Die wordt in complexe getallen beschreven. We kunnen de golffunctie niet meten, slechts de amplitude van de golffunctie, en dat is altijd een reëel getal. Complexe getallen spelen een belangrijke rol in diverse theorieën, waarbij veel tussenstappen complexe getallen zijn, maar waar de einduitkomst (de verwachtingswaarde bijvoorbeeld) altijd reëel is.

[Peter van Velzen]

ฺBedankt voor de uitleg.

[Petra]

Ik snap het nog steeds niet.
Ik probeer me een voorstelling te maken van 5D.
Dan zou er dus volgens mij nog een coördinaat bij komen, bij die 4 die ik wel snap. Maar welke dan?

[Peter van Velzen]

Ik snap het nog steeds niet.
Ik probeer me een voorstelling te maken van 5D.
Dan zou er dus volgens mij nog een coördinaat bij komen, bij die 4 die ik wel snap. Maar welke dan?

Dat hangt er van af waar je mee bezig bent. Oftewel:Welke vraag je wilt beantwoorden. Het zou de luchtdruk kunnen zijnof de temperatuur.

[Petra]

Ik snap het nog steeds niet.
Ik probeer me een voorstelling te maken van 5D.
Dan zou er dus volgens mij nog een coördinaat bij komen, bij die 4 die ik wel snap. Maar welke dan?

Dat hangt er van af waar je mee bezig bent. Oftewel:Welke vraag je wilt beantwoorden. Het zou de luchtdruk kunnen zijnof de temperatuur.

Ehhh, wat hebben we tegenwoordig 11 of 12 D meen ik.
Kun je dan dat rijtje met dit type gegevens aanvullen om die 12D te snappen?

[Peter van Velzen]

Ehhh, wat hebben we tegenwoordig 11 of 12 D meen ik.
Kun je dan dat rijtje met dit type gegevens aanvullen om die 12D te snappen?

Die 11 dimensies komen - meen ik - uit de string-theorie. Sommige daarvan heeft men nog niet eens waargenomen, laat staan dat men ze heeft kunnen meten. Ik heb daar niet het minste verstand van. Dus ik kén ze geen van allen.

[Petra]

Ehhh, wat hebben we tegenwoordig 11 of 12 D meen ik.
Kun je dan dat rijtje met dit type gegevens aanvullen om die 12D te snappen?

Die 11 dimensies komen - meen ik - uit de string-theorie. Sommige daarvan heeft men nog niet eens waargenomen, laat staan dat men ze heeft kunnen meten. Ik heb daar niet het minste verstand van. Dus ik kén ze geen van allen.

Komt weer een ja maaaaar

Ja maar Peter, hoe zit dat dan met dat vliegtuig wat op Wikipedia staat?
Ik had dat hele stuk hier gequote maar dit stukje gaat het me om:

Het vastleggen van de positie van een vliegtuig op een zeker tijdstip gebeurt met 6 dimensies, drie die de plaats zelf aangeven en drie voor de oriëntatie van het vliegtuig.

Waarom staat er 3 en 3?
En als dat dan 3 coordinaten zijn omdat er misschien geen tijd meegerekend wordt (al staat er 'op een zeker tijdstip ")...
dan zou ik mét tijd op een 4 + 4 uitkomen.
En dus daarmee in totaal op 8 dimensies zitten i.p.v. 6.

M.i. heb je voor dat vliegtuig op een zeker tijdstip ook gewoon 4 coordinaten nodig. Dus die drie snap ik al niet.
Dan staat er 3 voor het vliegtuig en 3 voor de plaats zelf, terwijl IK denk dat er gewoon 4 nodig zijn voor het vliegtuig op die plaats op een bepaald tijdstip.

Ik snap er de ballen van. Want als ik dat doortrek dan zou ik voor b.v. twee vliegtuigen, 3+3+3= 9 dimensies hebben. ENZ!

[Peter van Velzen]

Je komt er airodynamisch niet met drie coördinaten voor een vliegtuig, omdat het uitmaakt of het toestel op zijn kop of op zijn kant ligt. Dan kan het ook nog eens 360 graden gedraaid zijn. Om het nog erger te maken, zal het ook nog een snelheid hebben in een bepaalde richting. Dat zijn wéér vier coördinaten (drie om de richting te bepalen en één voor het aantal kilometers per uur. Nu zitten we al op 10. Voeg daaraan nog eens toe de wind. en je hebt er 14. De luchtdruk brengt je op 15. Maar dat is allemaal op hetzelfde tijdstip. Dus met dat tijdstip mee is dat 16.

Voor een tweede vliegtuig - op hetzelfde tijdstip, heb je in principe 15 exta coördinaten nodig. Maar veel van die coördinaten omvatten dezelfde dimensies (hoogte, lengte en breedte), dus het aantal dimensies is slechts 3 + 1 (tijd) + 1 (snelheid) + 1 (luchtdruk) = 6. Aleen heb je in elke dimensie meerdere waardes. Voor twee vliegtuigen zijn dat: In hoogte 2 voor de plaats, 2 voor de orientatie, 2 voor de bewegingsrichting en 2 voor de windrichting = 8. Idem voor lengte en breedte. 2 voor snelheid en 2 voor windsnelheid, 2 voor luchtdruk en 1 voor tijd. zoals verwacht 3 x 8 + 3 * 2 + 1 = 31.

Uiteraard zijn we gewichten van beiden toestellen vergeten. Nog eens één (7e) dimensie en nog twee coöridinaten. Verder veranderen al die gegevens in de tijd, dus elke (nano)seconde levert weer 33 nieuwe cijfers op. En dan gaan we ervan uit dat we niets veranderen aan besturing (de rolroeren etc.) en er geen versnelling of vertraging optreed. Zoals je ziet is vliegen een hele kunst.

Ik ben trouwns vergeten dat het vliegtuig ook nog eens kan roteren in meerdere richtingen en met meerdere snelheden. Maar het duizelt me nu al. Dus dat laat ik verder maar schieten.

[Petra]

Ik ben trouwns vergeten dat het vliegtuig ook nog eens kan roteren in meerdere richtingen en met meerdere snelheden. Maar het duizelt me nu al. Dus dat laat ik verder maar schieten.

Je zal het niet geloven... maar ik snap het, tot die schietstoel aan toe.
En ik ben niet eens duizelig.

[ChaimNimsky]

Die 11 dimensies komen - meen ik - uit de string-theorie.

De M-theorie (10 ruimte dimensies & 1 tijd-dimensie).

Ik probeer me een voorstelling te maken van 5D.

Deze dimensies zijn nodig voor de mathematische consistentie -- zonder deze dimensies klopt het niet. Maar deze dimensies kunnen niet worden geobserveerd of daadwerkelijk worden voorgesteld (behalve de eerste 4 tijd-ruimte dimensies uiteraard). Er kan slechts worden gesteld dat ze bestaan.

Het is een beetje vergelijkbaar met de Banach-Tarski paradox welke de mathematische mogelijkheid bewijst om van een object meerdere objecten te maken die mathematisch exact gelijk zijn aan het originele object. Je voorstellingsvermogen zegt dat dit niet kan, maar het kan desondanks.

(...) Het aantal dimensies is slechts 3 + 1 (tijd) + 1 (snelheid) + 1 (luchtdruk) = 6.

Tijd, snelheid en luchtdruk, etc. overschrijden de eerste 4 dimensies niet. Snelheid is gewoon de afstand gedeeld door de tijd. Dimensioneel kan afstand worden bepaald als M⁰L¹T⁰, tijd als M⁰L⁰T¹ & snelheid daarmee dus als M⁰L¹T^-1.

[Peter van Velzen]

Tijd, snelheid en luchtdruk, etc. overschrijden de eerste 4 dimensies niet. Snelheid is gewoon de afstand gedeeld door de tijd. Dimensioneel kan afstand worden bepaald als M⁰L¹T⁰, tijd als M⁰L⁰T¹ & snelheid daarmee dus als M⁰L¹T^-1.

Snelheid is niet "gewoon" afstand gedeeld door tijd. Afstand is immers ook geen dimensie! Als ik de afstand tussen hier en Tokio deel door het tijjdstip "nu", dan is het resultaat geen snelheid. snelheid is "verschil in plaats" gedeeld door "verschil in tijd". Maar verder heb je waarschijnlijk wel gelijk wat snelheid betrefs. Hoe je dit met de luchtdruk wilt doen weet ik niet. Dat lijkt me een lastige klus.