Petra schreef: ↑05 nov 2017 09:12Ben ik nou gek. We bewegen toch ook in het echie in een cirkel om de zon en met de zon in een cirkel in de melkweg, en met de melkweg .. etc. etc. Het is toch niet alleen maar een indruk omdat de zon de ruimtetijd buigt? Wat nou rechte weg? Een vierdimensionale rechte weg geeft de indruk van een driedimensionale cirkel… ik snap er de ballen van.
Die bannen zijn in het echie dus duidelijk geen cirkels. (die banen zijn zelfs onmogelijk)
Newton vond dat het ellipsen moesten zijn (mits de baan ongestoord was), deze wetten laten zich gemakkelijk afleiden.
Maar ook dat bleek niet juist er waren te grote afwijkingen er van om door meetfouten te verklaren.
Het was Einstein die er een oplossing voor vond: Massa kromt de Ruimte.
Hoe massa dat doet, heeft hij echter niet verklaart.
Het blijkt slecht uit de metingen dat het klopt.
En als er nu meer keizers zijn geweest dan maanden, wat dan, geachte senatoren?
TIBERIUS CLAUDIUS schreef: ↑06 nov 2017 09:51
] In die 4-dim ruimte verandert er niets, dat komt omdat die twee rechten als het ware weer een 3-dim ruimte opspannen.
Die kortste lijn blijft dus de zelfde.
Je begrijpt me verkeerd. Als ik in vier dimensies DRIE elkaar kruisende lijnen zou hebben dan zijn er drie kortste afstanden tussen die drie. Dat kan toch niet een en hetzelfde lijnstuk zijn als voor de eerste twee rechten? Het zou waarschijnlijk zo zijn dat rechten waarop die lijnstukken liggen elkaar niet snijden en dan liggen ze zelf ook weer op onderling kruisende rechten. Maar er zou misschien wel een kleinste driehoek kunnen bestaan die ze alle drie verbindt. Voor twee kruisende rechten neem ik inderdaad blindelings van je aan dat er eigenlijk niets verandert. (misschien wel in 5 of 6 dimensies, maar daar kan ik me al helemaal niets bij voorstellen).
Overigens was het niet jouw fout dat je me niet begreep, ik drukte me absoluut onvoldoende nauwkeurig uit.
Maar dat ben je inmiddels wel van mij gewend.
Peter van Velzen schreef: ↑06 nov 2017 12:20
Overigens was het niet jouw fout dat je me niet begreep, ik drukte me absoluut onvoldoende nauwkeurig uit.
Maar dat ben je inmiddels wel van mij gewend.
Nee deze keer had ik onzorgvuldig gelezen.
Intussen heb ik wel gevonden dat er een kleinste driehoek moet bestaan.
Immers elke driehoek die opgesteld wordt moet groter zijn dan de driehoek die gevormd wordt door de zijden met de drie koerste verbindingen.
Er is dus een ondergrens en na wat overwegingen moet er dus een kleinst mogelijke driehoek zijn.
Eerst dacht ik aan eentje, maar door symmetrie zouden het er ook wel eens drie kunnen zijn.
Ik probeer nog het een of het ander aan te tonen via een eenvoudige redenering,
lukt dat niet dan kan het altijd met vectoren, maar dat is weer een heel gedoe.
En als er nu meer keizers zijn geweest dan maanden, wat dan, geachte senatoren?
Bij die kleinste driehoek heb ik niet stilgestaan dat er altijd een ontaarding is.
Wat vrij eenvoudig aantoonbaar is dat er door drie rechten in de R4 altijd een vierde rechte kan worden getrokken.
(er van uitgaande dat het geen speciaal geval is met bv evenwijdige lijnen en zo)
Dat maakt dat die driehoeken wel een kleinste hebben, maar dat is een ontaarding daar dan de drie hoekpunten op één rechte lijn liggen.
PS.
Ik had het al bijna vergeten, maar vanochtend dacht ik er in eens weer aan.
En als er nu meer keizers zijn geweest dan maanden, wat dan, geachte senatoren?
Ik kan me niet zo goed een vierdimensionele ruimte voorstellen, dus probeer ik het algebraïsch te vatten. Veronderstel de coördinaten zijn: w, x, y en z.
lijn A beschrijf ik als w,0,0,0. Dus hij komt overeen met de w-as.
Lijn B beschrijf ik als 0,1,y,0 deze loopt dus paralel met de y as en kruist het w/x vlak in het punt 0,1,0,0. De korste afstand tussen A en B is het lijnstuk van 0,0,0,0 naar 0,1,0,0.
Lijn C beschrijf ik als 0, 2, 0, z. deze loopt paralel met de z-as en kruist het w/x vlak in het punt 0,2,0,0. De kortste aftand ttussen A en C is het lijnstuk van 0,0,0,0 naar 0,2,0,0. De kortste afstand tussen lijn B en lijn C is het lijnstuk van 0,1,0,0 naar 0,2,0,0. Er is dan
inderdaad sprake van een gedegenereerde driehoek. Tot zover klopt het.
Wat als ik als 3e rechte 0,2,1,z gekozen had? Dan was de kortste afstand tussen A en C het lijnstuk van 0,0,0,0 naar 0,2,1,0 geweest. En de kortste afstand tussen B en C het lijnstuk van 0,1,1,0 naar 0,2,1,0! Er is dan helemaal geen driehoek maar een niet-gesloten viervlak. Dus mijn veronderstelling klopte geenzins. Sorry voor dit dwaalspoor.
Ach. Wat ben ik toch dom. De drie kortste afstanden vormen geen driehoek, maar er is misschien wel een kleinste driehoek. De twee punten 0,0,0,0 e 0,2,1,0 lagen al optimaal op hun rechte ten opzichte van elkaar en ook ten opzichte van lijn B, maar de punten op lijn B(0,1,0,0 en 0,1,1,0) zijn misschien geen van beiden optimaal. Alebei vormen ze een driehoek met de andere twee met lengtes 1, wortel twee en ½ wortel 5. Omtrek: 4.65028153987289 Is een punt halverwege wellicht gunstiger? Laat me 0,1,½,0 proberen: afstand AB = wortel (1.25) BC = wortel(1.25) en CA = ½ wortel 5: omtrek: 4.47213595499958. Dat lijkt me wel optimaal. Dus de kleinste driehoek bestaat wél: punten 0,0,0,0, 0,1,½,0 en 0,2,1,0.
@Peter; Ik visualiseer die 4D zonder al die getallen ook wel.
...die tijd zou volgens mij juist een variabele moeten zijn op alle mogelijke punten van drie coördinaten. Maar daarmee zal ik hem wel weer te strak inbedden, en daardoor die relativiteit of klinkt mij meer als 'onderlinge uitwisselbaarheid' ofzoiets, niet vatten.
Hawking: (blz 51).
Het eerste deel begrijp ik wel en kan ik visualiseren. De laatste zin kan ik helemaal niks mee, maar jij vast wel.
'De positie van een punt in de ruimte kunnen we aanduiden met behulp van 3 getallen. oftewel: coördinaten.
Zo kunnen we zeggen dt een in een kamer zich op 70 cm van een muur bevindt, op 30 centimeter van een andere muur en 50 centimeter boven de grond.
Of we zouden kunnen aangeven dat een punt gelegen is op een bepaalde lengte- en breedtegraad en een zekere hoogte boven de zeespiegel.
Het staat ons vrij om rie willekeurige coördinaten te kiezen, hoewel ze slechts een beperkte geldigheid bezitten.
Het is mogelijk om het gehele heelal te beschrijven in de vorm van een verzameling overlappende gebieden. Voor elk gebied kunnen we een ander stel van drie coördinaten gebruiken om de positie van een punt aan te duiden.
In de ruimtetijd van de relativiteit kan elke gebeurtenis -dat wil zeggen, iets wat op een bepaald tijdstip plaatsvindt op een bepaald punt in de ruimte-
worden aangeduid met vier getallen of coördinaten. Ook hier is de keuze van de coördinaten willekeurig. We kunnen drie goed gedefinieerde ruimtelijke coördinaten nemen en een willekeurige maat voor de tijd.
Maar volgens de relativiteitstheorie bestaat er geen werkelijk verschil tussen de ruimtecoördinaten en die voor de tijd, zoals er evenmin verschil bestaat tussen twee willekeurige ruimtecoördinaten. En in plaats van een punt op aarde te meten in kilometers ten noorden en ten westen van Picadilly, kunnen we ook in kilometers ten noordoosten en ten noordwesten van Picadilly meten.
En volgens hetzelfde principe zouden we ook een nieuwe tijdcoördinaat kunnen kiezen bestaande uit de vroegere tijd (in seconden) plus de afstand (in lichtseconden) ten noorden van Picadilly.'
Braver dan the braafste braverik!
"If the mind can find no meaning, then the senses give it. Live for this, wretched being that you are."
― Anne Rice, The Queen of the Damned
In feite beweegt picadilly zich ten opzichte van alles in het heelal, en is een coördinatenstelsel gebaseerd op picadilly dus niet in rust. Het probleem is dat we niet kunnen zegeen of er ook maar één coördinatenstelsel is dat niet zelf ook beweegt. Verder baseren we onze tijdcoördinaat op onze eigen klok plus de veronderstelling dat elke electromagnetische golf zich met constante snelheid naar ons toe begeeft. Deze noodzakelijke aanname leidt to allelei eigenaardige relativiteitseffecten, hetgeen ons noopt om aan te nemen, dat noch tijd, noch plaats door elke waarnemer identiek worden gemeten. Dat is minder vreemd dan het lijkt. Zoals Norman Wildberger in de volgende video laat zien met geluid ipv licht en twee vleermuizen waarvan er één vliegt. Ook dan komt de hangende vleermuis tot de conclusie dat de klok van de vliegende vleermuis langzamer tikt, en dat zijn/haar meetlatje in de lengterichting korter is. (en andersom voor wat de vliegende vleermuis betreft) 53 minuten. . .
Petra schreef: ↑13 nov 2017 02:42Of we zouden kunnen aangeven dat een punt gelegen is op een bepaalde lengte- en breedtegraad en een zekere hoogte boven de zeespiegel.
Dat noemt men bolcoördinaten.
Ze worden veel gebruikt bij drievoudige integratie.
(en vaak ten onrechte uitgescholden voor poolcoördinaten)
Je kunt daar mee elk punt in de euclidische 3d-ruimte beschrijven dus meerdere gebieden wat je daar ook onder wilt verstaan zijn gewoon niet nodig.
Wat nodig is een vast oriëntatie punt (in de cartesiche systemen meestal oorsprong genoemd) dit punt kan overal gekozen worden.
Daarnaast moeten er nog andere zaken min of meer vrij gekozen worden, wat dat zijn hangt van het coördinaten systeem af.
Bij Cartesische coördinaten zijn dat de drie assen drie rechten die niet alle drie in het zelfde vlak liggen en door de oorsprong gaan.
Daarna moeten er nog de schalen op die assen worden aangebracht, de enige eis daarbij is dat ze alle drie lineair zijn en dat 0 op de oorsprong ligt.
Kortom: eigenlijk vrij eenvoudig.
PS.
Een veel gemaakte fout is dat men de assen voor dimensies verslijt.
Mensen die dat denken en volhouden hebben geen idee wat een dimensie is.
En als er nu meer keizers zijn geweest dan maanden, wat dan, geachte senatoren?
TIBERIUS CLAUDIUS schreef: ↑21 nov 2017 11:01
Een veel gemaakte fout is dat men de assen voor dimensies verslijt.
Mensen die dat denken en volhouden hebben geen idee wat een dimensie is.
Volgens mij is dit een grove overdrijving.
Uiteraard zijn de assen niet hetzelfde als dimensies, maar ze zijn wel heel nuttig om uit te leggen hoeveel dimensies er in een bepaalde situatie zijn. Ik zou niet weten hoe ik me een vierde laat staan een vijfde dimensie moet voorstellen als ik niet een vierde as en een vijfde as postuleer. De assen helpen dus geweldig om een idee te krijgen van wat een dimensie is.
Dat het niet hetzelfde is wordt - mijns inziens - pas duidelijk als je leert om met affiene meetkunde te werken. Het is dan op slag duidelijk dat er in een n-dimensionele ruimte eindeloos veel manieren zijn om een coördinatenstelsel te kiezen. Jouw beschrijving van een coördinatenstelsel voldoet trouwens prima aan wat je in die meetkunde ter beschikking hebt. Maar ik vraag me af of iedereen die haar leest beseft dat je het niet - noodzakelijkerwijs - over een loodrecht stelsel met identieke schaalverdeling op alle assen hebt.
Norman Wildberger gebruikt van 2-dimensionale affiene meetkunde om lineaire algebra inzichtelijk te maken in onderstaand filmpje. (vanaf 4 minuut 54)
TIBERIUS CLAUDIUS schreef: ↑21 nov 2017 11:01
Een veel gemaakte fout is dat men de assen voor dimensies verslijt.
Mensen die dat denken en volhouden hebben geen idee wat een dimensie is.
Volgens mij is dit een grove overdrijving.
Uiteraard zijn de assen niet hetzelfde als dimensies, maar ze zijn wel heel nuttig om uit te leggen hoeveel dimensies er in een bepaalde situatie zijn. Ik zou niet weten hoe ik me een vierde laat staan een vijfde dimensie moet voorstellen als ik niet een vierde as en een vijfde as postuleer. De assen helpen dus geweldig om een idee te krijgen van wat een dimensie is.
Dat het niet hetzelfde is wordt - mijns inziens - pas duidelijk als je leert om met affiene meetkunde te werken. Het is dan op slag duidelijk dat er in een n-dimensionele ruimte eindeloos veel manieren zijn om een coördinatenstelsel te kiezen. Jouw beschrijving van een coördinatenstelsel voldoet trouwens prima aan wat je in die meetkunde ter beschikking hebt. Maar ik vraag me af of iedereen die haar leest beseft dat je het niet - noodzakelijkerwijs - over een loodrecht stelsel met identieke schaalverdeling op alle assen hebt.
Norman Wildberger gebruikt van 2-dimensionale affiene meetkunde om lineaire algebra inzichtelijk te maken in onderstaand filmpje. (vanaf 4 minuut 54)
Als men het uitlegt aan de had van de assen is dat zeer afkeurenswaardig.
Mensen worden op het verkeerde been gezet komen daar vaak niet meer van af.
Jij bent daar een goed voorbeeld van gezien je vraag over hoe een meer dan drie dimensionale ruimte voor te stellen.
Een affine meetkunde kan gewoon zonder coördinaten net als dat in de projectieve meetkunde kan.
Waarom je dit er bijsleept is me onduidelijk.
En als er nu meer keizers zijn geweest dan maanden, wat dan, geachte senatoren?
Dat is dus wat het áántal dimensies is: het aantal getallen wat we nodig hebben om een uniek punt te beschrijven. In de ruimte zijn dat er drie
Een dimensie is een parameter waarmee een element van die ruimte wordt beschreven. In ons heelal zijn dat lengte, breedte, hoogte en tijd. In theorie is het mogelijk dat er een multiversum is met meer dimensies en/of een andere verdeling, bijvoorbeeld 3 dimensies tijd en 1 dimensie voor de afmeting. Ik meen dat Stephen Hawking dit aankaart in zijn boek 'het grote ontwerp'.
lanier schreef: ↑21 nov 2017 15:39Een dimensie is een parameter waarmee een element van die ruimte wordt beschreven. In ons heelal zijn dat lengte, breedte, hoogte en tijd. In theorie is het mogelijk dat er een multiversum is met meer dimensies en/of een andere verdeling, bijvoorbeeld 3 dimensies tijd en 1 dimensie voor de afmeting. Ik meen dat Stephen Hawking dit aankaart in zijn boek 'het grote ontwerp'.
Het dimensie getal dat een eigenschap van de betreffende ruimte weergeeft.
Dus het is zeker geen parameter want die is variabel.
En als er nu meer keizers zijn geweest dan maanden, wat dan, geachte senatoren?
