Wat is een dimensie?

[Petra]

Niemand kan zich - denk ik - een gekromde ruimte goed voorstellen. Ik zelf kom niet verder dan een gekromd oppervlak (dat van de aarde). Een euclidische ruimte van drie dimensies lukt ons wel, want die komt enigzins overeen met de wereld om ons heen. Strikt genomen komt ze er echter niet mee overeen, want het vlak waarop wij staan is eigenlijk een boloppervlak. En overal in het heelal zijn massa's die de ruimte vervormen. Vier dimensies is voor de meeste mensen helemaal een stap te ver. Maar in wiskundige modellen kun je je computer met veel meer dimensies laten rekenen. Mensen die trachten de stringtheorie te ontwerpen werken met wel 11 dimensies, maar die bevatten niet allemaal equivalente dimensies. Er zijn er bij die meer gekromd zijn dan de anderen. Geen idee wat de consequenties daarvan zijn.

Maar pak er vooral een globe bij, en leg daar een oprolbaar meetlint overheen, dan zie je precies wat de gevolgen van de kromming zijn. Het rechte meetlint, draait altijd in een cirkel rond de globe.

Ik dacht dat het aan mij lag.

Ja, die globe met kromming snap ik wel. Ik snap niet waarom de al of niet aanwezigheid van materie de boel veranderd.
" En overal in het heelal zijn massa's die de ruimte vervormen" roep je even tussen neus en lippen door. Volgens mij is dat het wat ik niet snap.. waarom dan .. hoe dan ???

Hoe kan de ruimte nou vervormd worden als die gewoon IS wat het IS.?
ik vrees dat ik nog niet eens de vraag goed kan formuleren.

Ik zie een ruimteschip (=massa) voor me die in de ruimte vliegt. En omdat die massa er is verandert de ruimte.
Maar wat verandert er dan? Die ruimte is er dan toch nog gewoon? Die is toch niet opeens verdwenen omdat er wat vliegt.
En als die ruimte verandert (groter/kleiner/lichter/zwaarder/ ???) dan moet dat schip toch meegaan in die verandering? Of ook veranderen?
En is dat dan een dimensie? Of een verandering van dimensie? Of een domein?

[Peter van Velzen]

Ja, die globe met kromming snap ik wel. Ik snap niet waarom de al of niet aanwezigheid van materie de boel veranderd.
" En overal in het heelal zijn massa's die de ruimte vervormen" roep je even tussen neus en lippen door. Volgens mij is dat het wat ik niet snap.. waarom dan .. hoe dan ???

Dat snapt niemand. Men kan het wel beschrijven en het in andere termen gieten. Massa is versnelling en beiden vertragen de snelheid van de klok; Dus de tijd. Maar dan blijf je zitten met de vraag "Wat is tijd". Daarover is ook niet iedereen het eens. We weten sinds Einstein dat het zo is, maar helemaal begrijpen doet zover ik weet niemand het.

[Petra]

Ja, die globe met kromming snap ik wel. Ik snap niet waarom de al of niet aanwezigheid van materie de boel veranderd.
" En overal in het heelal zijn massa's die de ruimte vervormen" roep je even tussen neus en lippen door. Volgens mij is dat het wat ik niet snap.. waarom dan .. hoe dan ???

Dat snapt niemand. Men kan het wel beschrijven en het in andere termen gieten. Massa is versnelling en beiden vertragen de snelheid van de klok; Dus de tijd. Maar dan blijf je zitten met de vraag "Wat is tijd". Daarover is ook niet iedereen het eens. We weten sinds Einstein dat het zo is, maar helemaal begrijpen doet zover ik weet niemand het.

Zit ik nou al dagen met die kromming en die materie te vechten terwijl het niet te snappen valt


Ik zie massa als iets wat gewicht heeft of een bepaalde dichtheid.
Waarom energie en massa gelijkwaardig zijn.. is me een raadsel. Energie is volgens mij bv. wrijving.
Dus ik snap wel dat die massa door wrijving energie oplevert. Maar ik snap niet dat die twee dan gelijkwaardig zijn.

Energie wordt aan massa toegevoegd. Niet andersom! (dacht ik ) Dat stel ik me dan als een soort batterij voor.

Om er nu ook nog tijd bij te betrekken krijg ik niet voor mekaar hoor ... alles op z'n tijd!

[TIBERIUS CLAUDIUS]

zo bestaan er in het Euclidische vlak geen kruisende lijnen.

Er bestaan geen kruisende lijnen?
O ik begrijp het al. Wat een gewoon mens een kruisende lijn noemt is bij Euclides een snijdende lijn. Een kruisende lijn is binnen de Euclidische wiskunde een lijn die niet in eenzelfde vlak ligt, en derhalve geen enkel punt met de andere gemeen heeft. Ik sprak gewone mensentaal. Daarin komen kruispunten voor, maar jij zou (wiskundig) slechts van een weg spreken die een andere weg kruist als er sprake was van een viaduct of een tunnel, en géén kruispunt.

Overigens sprak ik niet over een "kruisende lijn" maar over een lijn die een andere lijn op EEN PUNT kruist. Je kon dus donders goed weten dat wat ik bedoelde te zeggen wel degelijk klopte.

Wat eigenlijk erger is. is dat mijn uitleg niet klopt op (bijvoorbeeld) het oppervlak van een bol. Daar hebben lijnen die daar het equivalent zijn van snijdende lijnen bij Euclides altijd twéé punten gemeen. Ook ontgaat me hoe ik daar een derde dimensie bij kan denken. Tenzij ik alle lijnen toevoeg die door het centrum van de bol gaan en het oppervlak op twee punten snijden, maar dan keer ik terug naar een euclidische ruimte.

Er staat dat ze niet bestaan in het Euclidische VLAK.
Goed formuleren is noodzaak in de wiskunde en ook is het noodzaak om de wiskundige betekenis van woorden aan te houden.

Natuurlijk klopt je uitleg niet op een boloppervlak, dat is namelijk geen Euclidische meetkunde maar een Riemann meetkunde.

Voor een driedimensionaal equivalent moet je het hyperoppervlak van een glome nemen. https://en.wikipedia.org/wiki/3-sphere

PS.
Je hebt nog steeds niet vastgelegd wat een dimensie is, slecht een ruimte geconstrueerd.
Ook heb je de lat veel te hoog gelegd, juist in de Euclidische meetkunde is het dimensie begrip een hekel punt.
Dit komt omdat de postulaten van Euclidus (met latere toevoegingen) gewoon niet waterdicht zijn.

PPS.
Ook in de driedimensionale Euclidische meetkunde hebben kruisende lijnen ieder een soortgelijk punt als bij snijden.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Als ik dimensies goed begrijp zijn dat coördinaten die een plek aanduiden.

Dimensies zijn geen dingen, die je kunt vinden in een ruimte.

Een ruimte heeft eigenschappen en een daarvan kan zijn dat het een dimensie getal heeft.

Het is net zoiets als de temperatuur van een object, dat getal is een eigenschap van dat object er zitten nergens graden in dat object hoor.

[Petra]

Als ik dimensies goed begrijp zijn dat coördinaten die een plek aanduiden.

Dimensies zijn geen dingen, die je kunt vinden in een ruimte.

Een ruimte heeft eigenschappen en een daarvan kan zijn dat het een dimensie getal heeft.

Het is net zoiets als de temperatuur van een object, dat getal is een eigenschap van dat object er zitten nergens graden in dat object hoor.

Ik citeer Hawking letterlijk.

Relativiteit (H5)
Ruimtelijke coördinaten.
Wanneer we zeggen dat de ruimte drie dimensies heeft, bedoelen we daarmee dat we een bepaald punt kunnen aanduiden met drie getallen, of coördinaten. Als we de tijd aan onze beschrijving toevoegen, wordt de ruimte uitgebreid tot een vierdimensionale ruimtetijd.
Het is mogelijk om het gehele heelal te beschrijven in de vorm van elkaar overlappende gebieden. Voor elk gebied kunnen we een ander stel van drie coordinaten gebruiken om de positie van een punt te duiden.

[Petra]

Over gebogen ruimte:
@Peter, is het gerelateerd genoeg? Anders verplaats je het maar.


Hawking (blz 58)
Het is weliswaar niet zo eenvoudig om ons voor te stellen, maar de massa van de zon buigt de ruimtetijd dusdanig dat bij ons, ofschoon de aarde zich via een rechte weg door de vierdimensionale ruimtetijd beweegt, de indruk ontstaat dat we via een (bijna) cirkelvormige omloopbaan door de driedimensionale ruimte bewegen.

Ben ik nou gek. We bewegen toch ook in het echie in een cirkel om de zon en met de zon in een cirkel in de melkweg, en met de melkweg .. etc. etc. Het is toch niet alleen maar een indruk omdat de zon de ruimtetijd buigt? Wat nou rechte weg? Een vierdimensionale rechte weg geeft de indruk van een driedimensionale cirkel… ik snap er de ballen van.

Een ruimtevaartuig die in de ruimte een rechte lijn volgt geeft op het tweedimensionale aardoppervlak een gebogen lijn weer. Die is logisch. Hoe kan ik dat gebruiken om een beeld te krijgen van een rechte lijn in 4D die een gebogen lijn weergeeft in 3D ?

Hoe kan de zon de tijd beïnvloeden? Is de zon materie? Hoe kan ik me dan ruimtetijd voorstellen… als een ruimte + tijd, lijkt me. Nu in de ruimte, een seconde later in de ruimte, een uurtje vroeger in de ruimte. Wat is het dan wat er buigt of kromt… de tijd of de ruimte? Maar als wij op aarde (blijkbaar) een indruk van een cirkel krijgen moet het de ruimte zijn die kromt. Maar wat heeft de tijd daar dan mee van doen?

Wat een veldslag…. en ik ben pas bij Hoofdstuk 6.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Ik citeer Hawking letterlijk.

Relativiteit (H5)
Ruimtelijke coördinaten.
Wanneer we zeggen dat de ruimte drie dimensies heeft, bedoelen we daarmee dat we een bepaald punt kunnen aanduiden met drie getallen, of coördinaten. Als we de tijd aan onze beschrijving toevoegen, wordt de ruimte uitgebreid tot een vierdimensionale ruimtetijd.
Het is mogelijk om het gehele heelal te beschrijven in de vorm van elkaar overlappende gebieden. Voor elk gebied kunnen we een ander stel van drie coordinaten gebruiken om de positie van een punt te duiden.

Dit is een probleem.
Hawking vertelt het verhaal zo dat hij hoopt dat ook mensen zonder veel kennis het zullen begrijpen.
Helaas moet hij daar wel de wiskunde nogal wat geweld aan doen.

Dat is trouwens wat ik in het algemeen tegen heb op populairwetenschappelijk publicaties.
Door de vereenvoudiging ontstaat bij de leek een verkeerd beeld met alle gevolgen van dien.

PS.
Het ruimtetijd continuïum kan ook als een 1-dim ruimte worden gezien, maar het is ongebruikelijk dat zo te doen.

[Petra]

Dit is een probleem.
Hawking vertelt het verhaal zo dat hij hoopt dat ook mensen zonder veel kennis het zullen begrijpen.
Helaas moet hij daar wel de wiskunde nogal wat geweld aan doen.

Dat is trouwens wat ik in het algemeen tegen heb op populairwetenschappelijk publicaties.
Door de vereenvoudiging ontstaat bij de leek een verkeerd beeld met alle gevolgen van dien.

PS.
Het ruimtetijd continuïum kan ook als een 1-dim ruimte worden gezien, maar het is ongebruikelijk dat zo te doen.

Als we kindertjes leren schrijven beginnen we toch ook niet met volzinnen en het op tafel gooien van alle spellingsregels en vervoegingen, inclusief de uitzonderingen.
Het is toch helemaal niet gek om eerst een voor de leek begrijpelijke versie neer te leggen en als dat allemaal opgepakt is weer een stapje verder te gaan.

Je kreeg bij Wiskunde toch ook niet in je brugklas Einstein op je bordje en uitleg over de imaginaire getallen.

Heel gewoon beginnen bij het begin! Volgens mij gaat het erom dat er eerst bepaalde principes moeten worden begrepen. Als je die doorhebt kun je uitleggen waarom sommige dingen anders zijn.

P.S.
Roep liever wat nuttigs over mijn vorige post, daar heb ik meer aan. (viewtopic.php?p=538442#p538442
En als je het voor mekaar krijgt; zonder al te veel getallen.

[Peter van Velzen]

PPS.
Ook in de driedimensionale Euclidische meetkunde hebben kruisende lijnen ieder een soortgelijk punt als bij snijden.

Hou je ons nu voor de gek? Of kun je dat uitleggen? Wat voor een punt zou dat kunnen zijn?

[Peter van Velzen]

Het ruimtetijd continuïum kan ook als een 1-dim ruimte worden gezien, maar het is ongebruikelijk dat zo te doen.

Tot mijn opperste verbazing, kan ik dit nog enigzins begrijpen ook. Een vlak kun je beschouwen als een spiraal die zo nauw om zichzelf heen draait dat ze het hele vlak vult, en heeft dan één dimensie (de positie op de spiraal t.o.v. van het beginpunt). Mogelijkerwijs kun je in drie of meer dimensies een soortgelijke truc gebruiken. Niet dat ik daar enig nut van in zie.
Maar ik dacht even dat je compleet aan het bazelen was. Dat is wellicht niet zo.


Met behulp van dit absurde idee, kom ik tot de conclusie dat er inderdaad een punt is dat uniek is ten opzichte van twee kruisende lijnen. NIet dat het een ook maar wat met het ander te maken heeft, maar het brengt me toevallig wel op het idee. Een uniek punt ten opzichte van twee kruisende lijnen is - in elk geval - het punt halverwege het lijnstuk dat de beide lijnen op de kortst mogelijke afstand verbindt. Als de lijnen dichter bij ekaar worden gedacht, nadert dit punt tot het punt waar twee lijnen in hetzelfde vlak elkaar snijden. Maar in zekere zin is het hele lijnstuk eerder een equivalent van het snijpunt van twee lijnen, dan het punt halverwege. In vier dimensies zou dit wellicht een driehoek worden, en in vijf dimensies een viervlak. In alle gevallen een object dat twee dimensies minder kent dan de ruimte waarin zij voor kruisende lijnen het equivalent is van een snijpunt van twee lijnen in een vlak. Dat voldoet ook aan deze dimensie-verhouding (0 t.o.v. 2). JIj zult dit wel weer als een denkfout beschouwen. omdat het niet overeen komt met de theorie die jij erover kent. Maar dit is hoe ik er chokola van kan maken.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Hou je ons nu voor de gek? Of kun je dat uitleggen? Wat voor een punt zou dat kunnen zijn?

Ik zou niet durven.

Neem twee punten elk op een der kruisende rechten en verbind die met een lijnstuk.
Dat lijnstuk heeft en bepaalde lengte.
Het is nu zo dat er precies twee punten zijn waar die lengte op zijn kortst is.
Die twee punten kunnen geïnterpreteerd worden als een generalisatie van het begrip snijpunt.

Ook is bewijsbaar dat dit lijnstuk loodrecht staat op beide rechten.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Heel gewoon beginnen bij het begin! Volgens mij gaat het erom dat er eerst bepaalde principes moeten worden begrepen. Als je die doorhebt kun je uitleggen waarom sommige dingen anders zijn.

Met het eerste ben ik het van harte eens, ik heb dat zelf al gemeld.

Het tweede behoort niet voor te komen, want dan is er iets mis met de basis.
Dat is iets anders dan dat er later wordt uitgebreid en er dus meer mogelijkheden komen.

Daarom hamerde ik tijdens mijn colleges altijd op het begrip Horizon, dat is het gebied waarin gewerkt wordt.

Zo is met getallen de Horizon van kleuters 1 , 2 , 3 , veel , heel veel.

PS.
Het niet vastleggen van een Horizon leidt op den deur tot contradicties.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Het ruimtetijd continuïum kan ook als een 1-dim ruimte worden gezien, maar het is ongebruikelijk dat zo te doen.

Tot mijn opperste verbazing, kan ik dit nog enigzins begrijpen ook. Een vlak kun je beschouwen als een spiraal die zo nauw om zichzelf heen draait dat ze het hele vlak vult, en heeft dan één dimensie (de positie op de spiraal t.o.v. van het beginpunt). Mogelijkerwijs kun je in drie of meer dimensies een soortgelijke truc gebruiken. Niet dat ik daar enig nut van in zie.
Maar ik dacht even dat je compleet aan het bazelen was. Dat is wellicht niet zo.

Helaas werkt je methode niet,
immers daar een lijn geen breedte heeft kun je de spiralen niet tegen elkaar aanleggen zodat elk punt wordt meegenomen.

Jordan lijnen kunnen dus geen vlak volledig vullen, wil je zoiets verwezenlijken bestudeer dan de Peano lijnen.

Ik bazel nooit, dat laat ik aan anderen over.

PS.
Ik bedoelde trouwens iets anders met de methode om bijvoorbeeld het platte vlak 1-dim te zien.
Dit wordt in de Middel Wiskunde (en Hogere Wiskunde volop gedaan.
Dat het geen nut zo hebben is op zichzelf een onwetenschappelijk opmerking.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

In vier dimensies zou dit wellicht een driehoek worden, en in vijf dimensies een viervlak.

In die 4-dim ruimte verandert er niets, dat komt omdat die twee rechten als het ware weer een 3-dim ruimte opspannen.
Die kortste lijn blijft dus de zelfde.

In alle gevallen een object dat twee dimensies minder kent dan de ruimte waarin zij voor kruisende lijnen het equivalent is van een snijpunt van twee lijnen in een vlak. Dat voldoet ook aan deze dimensie-verhouding (0 t.o.v. 2). JIj zult dit wel weer als een denkfout beschouwen. omdat het niet overeen komt met de theorie die jij erover kent. Maar dit is hoe ik er chokola van kan maken.

Je zit op het verkeerde spoor.
In een 4-dim ruimte snijden twee (platte) vlakken elkaar in het algemeen in een punt.
In een 5-dim ruimte lopen twee (platte) in het algemeen langs elkaar heen, wel is hier weer die minimale afstand.

Dit is generaliseerbaar.

In een 4-dim ruimte snijden twee 3-dim ruimten snijden elkaar in het algemeen in een vlak.
Enz.

Hier kun je met wat handigheid dat dimensie gereken van je op toepassen.

PS.
Bij bovenstaande is er van uit gegaan dat alles Euclidisch is, is het dat niet dan wordt het anders.
(Dan kunnen twee rechten (of beter hun equivalent) elkaar in meer punten snijden.)