PI als illusie

[Peter van Velzen]

Er zijn verscheiden wiskundige reeksen, die men kan gebruiken om het zogenaamde getal pi te benaderen, maar geen enkele daarvan is eindig. Men kan zolang doorgaan als men wil, en men komt tot getallen met alsmaar meer decimalen, maar een einde komt er nooit aan.

Ik ben echter een empirist en ga daarom empirisch bewijzen dat het “getal” PI helemaal niet bestaat! Het meest constante continuüm dat wij kunnen bedenken is metale folie met de doorsnede van één atoom. Laten wij – in navolging van Rutherford een goudfolie nemen. De eenheid waarin wij meten is noodzakelijkerwijs het goudatoom. Kleiner staat ons niet ter beschikking. We zullen net doen alsof de atomen netjes bolvormig zijn. (ik heb geen idee, wat daarvan waar of onwaar is, maar het lijkt me de eenvoudigste benadering).

Bekijken we nu een cirkel met een doorsnee van één goudatoom. Wie schetst onze verbazing, als wij de omtrek trachten te bepalen: Deze bevat namelijk ook slechts één atoom! De verhouding tussen de door ons gemeten omtrek en de door ons gemeten doorsnede is dus 1! Pi is op deze schaal niet ietsje groter dan 3, zoals velen wellicht denken. Pi is nu 1.

Lastiger blijkt het om een cirkel op te meten die meerdere atomen bevat. Probeer maar eens een regelmatige figuur te bedenken waarin er in elke richting dwars door het centrum twee atomen te vinden zijn, niet méér en niet minder. Drie goudatomen (in een gelijkzijdige driehoek, zijn te weinig, want daar zul je – wanneer je althans door het centrum gaat. Soms slecht één atoom tegenkomen (als je dwars door het midden van dat atoom heengaat, ga je precies tussen de andere twee dóór! Vier atomen dan? Nee, want dan zijn er zelfs twee discrete richtingen, waarin je helemaal geen atoom tegenkomt. Uiteraard zijn die richtingen zó discreet, dat we vrijwel nooit in die richting zullen meten. (tenminste dat hangt er vanaf wat de quantummechanica er van zegt, maar is ga even uit van een “klassieke” benadering.)

We blijken vijf atomen nodig te hebben, om in elke denkbare richting minstens één atoom te vinden. In de meeste richtingen (op vijf discrete richting na) zullen we er zelfs twee aantreffen. Laten we aannemen dat dit onze beste benadering is van een cirkel met een doorsnede van twee. De omtrek is nu 5 atomen. Ergo: Op deze schaal is pi niet 1 maar 2,5!

Bij zes atomen komen we tot de opvallende conclusie, dat onze “cirkel” in de meeste richtingen nu drie één atomen doorsnede heeft, maar dat we er in vijf - nu niet zo heel discrete = richtingen slechts tweeaantreffen. Drie is nu de beste benaderin. De omtrek is tot onze verbazing nog steeds 5 atomen (de 6e zit immers in het midden). Pi is nu 5/3 te zijn geworden.

Ook bij zeven atomen, is onze doorsnee meestal drie atomen, alhoewel er nu zes discrete richtingen zijn, waarin we er slechts één aantrefffen (de middelste). De omtrek is nu zes atomen groot, zondat Pi nu weer gegroeid is tot 2.

Het probleem blijft dat als we slechts twee metingen verichten, we altijd een geheel aantal atomen zullen meten (we hebben immers geen kleiner meeteenheid) en dat de verhouding tussen omtrek en doorsnede altijd een rationeel getal zal opleveren. Nóóit – ik herhaal nooit – zullen we een niet rationeel getal als pi ontdekken. Bij elke werkelijke meting zal de verhouding tussen het aantal atomen in de omtrek en dat in de doorsnede een rationeel getal zijn, dat slechts – bij grote aantallen – ongevéér zal overeenkomen met pi!

Derhalve bestaat pi dus helemaal niet in de fysieke werkelijkheid. Dat is ook logisch, want noch de doorsnede als de omtrek, zal ooit precies langs de omtrek of dwars door het centrum van de atomen gaan. Beiden wijken daar tot maximaal een halve atoom vanaf! In de fysieke werkelijkheid bestaan er dus ook helemaal geen cirkels met diameters en omtrekken. Alleen hoeveelheden materie die deze theoretische constructies enigzins benaderen.

Als je probeert je de kleinst mogelijk ronde verzameling atomen met behulp van schijfjes (ik gebruikte damschijfjes) voor te stelllen, en je tracht te beredeneren wat een diameter aan atomen zal opleveren, begrijp je misschien iets van de waarschijnlijkheidsaspecten van de quantum mechanica. In drie discrete richtingen leveren 7 atomen een doorsnede van drie op, in drie discrete richtingen van één, en in de meeste richtingen ga je dwars door één atoom, maar slechts gedeeltelijk door twee anderen. Ga je die twee altijd meetellen, of mis je ze soms? Zeker bij een warme folie, zullen ze immers bewegen, en gaat je meetlat wel rechtuit? Je hebt wel een heel kleine golflengte nodig, om met een energiestraal niet om de atomen heen te golven! (en ze dus helemaal niet te vinden). Gebruik je iets materiëels (volgens sommigen alleen maar een energiedeeltje met een heel kleine golflengte), dan maak je de folie stuk.

[Karssenberg]

Pythagoras dacht dat alle bestaande getallen waren te schrijven als een breuk van hele getallen. Groot was de schok toen werd ontdekt en bewezen, dat wortel(2) geen ratio van hele getallen kon zijn. Dit kan eenvoudig worden bewezen uit het ongerijmde. Aanvankelijk wilden Pythagoras c.s. deze ontdekking geheim houden voor de wereld. Ze wilden de waarheid tegen beter weten in onder de tafel schuiven.
Gaandeweg werd vastgesteld, dat er kennelijk meer getallen waren dan de rationale getallen.
Veel later werd de getallenwereld opnieuw uitgebreid met z.g. Imaginaire getallen, zoals wortel(-1).

Een getal kan kennelijk louter bestaan in de gedachtenwereld van mensen. Pi is ook zo'n getal.

[Peter van Velzen]

Ik ga een vertaling hiervan in the ENGLISH SECION plaatsen

[lanier]

Bekijken we nu een cirkel met een doorsnee van één goudatoom. Wie schetst onze verbazing, als wij de omtrek trachten te bepalen: Deze bevat namelijk ook slechts één atoom!

Hoezo is de omtrek één atoom???
De kern van een atoom iss bijzonder klein: de diameter ligt tussen 1,6 en 15 femtometer (10^-15), dat is ongeveer 20 000 keer zo klein als het atoom zelf. Je kunt dus de diameter uitrekenen en daarmee ook de omtrek. Aangezien we nog niet op de plancklengte zitten kunnen we heel goed de omtrek bepalen. Daarbij wel rekening houden dat een atoom geen bol is, maar een celkern (protonen en elektronen) met daarom heen elektronen. Het is dus maar de vraag of je van een cirkel kunt spreken. Sowieso is een atoom 3D en niet 2D.

[Peter van Velzen]

Pythagoras dacht dat alle bestaande getallen waren te schrijven als een breuk van hele getallen. Groot was de schok toen werd ontdekt en bewezen, dat wortel(2) geen ratio van hele getallen kon zijn. Dit kan eenvoudig worden bewezen uit het ongerijmde. Aanvankelijk wilden Pythagoras c.s. deze ontdekking geheim houden voor de wereld. Ze wilden de waarheid tegen beter weten in onder de tafel schuiven.
Gaandeweg werd vastgesteld, dat er kennelijk meer getallen waren dan de rationale getallen.
Veel later werd de getallenwereld opnieuw uitgebreid met z.g. Imaginaire getallen, zoals wortel(-1).

Een getal kan kennelijk louter bestaan in de gedachtenwereld van mensen. Pi is ook zo'n getal.

Inderdaad, er zijn heel veel dingen, die we wél kunnen bedenken, maar nergens ooit zullen aantreffen, Met Phi is het al niet anders gesteld. Overigens is het uiteraard de vraag of de omtrek dan wel de diameter als een niet natuurlijk getal wordt beschouwd. Mijn favoriete wiskundeprofessor Norman WIldberger, beweerde in een van zijn youtube-video's dat als de zijde van een rechthoek 1 is, dat dan de lengte van de diagonaal (in zijn rarionele getallenvisie) niet bestaat. Maar als je de diagonaal definëerd als 1, dan is het de lengte van de zijde die als rationeel getal niet bestaat. Uiteraard bestaan beide lengtes. Je kunt alleen geen ratio tuseen beiden vaststellen. Toch zal die er - in atomen gemeten - wél zijn! Maar hij houdt geen rekening met de wiskundige idee van de "real numbers". Die uitkomst (wortel 2 of 1/ wortel 2) bestaat in werkelijkheid inderdaad nooit, maar als je maar genoeg atomen hebt, kun je heel veel decimalen goed krijgen. Maar dat is ook alles wat er in werkelijkheid mogelijk is.

[axxyanus]

Er zijn verscheiden wiskundige reeksen, die men kan gebruiken om het zogenaamde getal pi te benaderen, maar geen enkele daarvan is eindig. Men kan zolang doorgaan als men wil, en men komt tot getallen met alsmaar meer decimalen, maar een einde komt er nooit aan.

Ik ben echter een empirist en ga daarom empirisch bewijzen dat het “getal” PI helemaal niet bestaat! Het meest constante continuüm dat wij kunnen bedenken is metale folie met de doorsnede van één atoom. Laten wij – in navolging van Rutherford een goudfolie nemen. De eenheid waarin wij meten is noodzakelijkerwijs het goudatoom. Kleiner staat ons niet ter beschikking. We zullen net doen alsof de atomen netjes bolvormig zijn. (ik heb geen idee, wat daarvan waar of onwaar is, maar het lijkt me de eenvoudigste benadering).

Natuurlijk bestaat PI niet. Geen enkel getal bestaat. Ik heb in de werkelijkheid nooit een twee gezien of een vijf en zeker geen minus zeven om van de vierkantswortel van minus één maar helemaal te zwijgen.

Derhalve bestaat pi dus helemaal niet in de fysieke werkelijkheid. Dat is ook logisch, want noch de doorsnede als de omtrek, zal ooit precies langs de omtrek of dwars door het centrum van de atomen gaan. Beiden wijken daar tot maximaal een halve atoom vanaf! In de fysieke werkelijkheid bestaan er dus ook helemaal geen cirkels met diameters en omtrekken. Alleen hoeveelheden materie die deze theoretische constructies enigzins benaderen.

Zoals eerder als gesteld. Geen enkel getal bestaat in de werkelijkheid. Alle getallen zijn abstracties.

[Peter van Velzen]

Zoals eerder als gesteld. Geen enkel getal bestaat in de werkelijkheid. Alle getallen zijn abstracties.

Hoewel ik dit in het geheel niet wil tegenspreken, kun je wel degelijk dingen in de fysieke werkelijkheid tellen, en bestaat er wel degelijk een ratio (verhouding tussen bepaalde dingen die je kunt meten. Irrationele getallen - zoals PI kun je echter nooit meten. Dat is wel een verschil. Ook binnen de wiskunde kun je er bepaalde dingen niet mee doen. Hoe zou je bijvoorbeeld wortel 2 en pi bij elkaar willen optellen of van elkaar aftrekken. Je kunt dat allee met rationele benaderingen van die grootheden. Nooit met de getallen zelf, want die kennen we helemaal niet. Of - als je benaderingen wel als kennis er van meetelt - niet helemaal. . .

[Jan van Lennip]

Zoals eerder als gesteld. Geen enkel getal bestaat in de werkelijkheid. Alle getallen zijn abstracties.

Hoewel ik dit in het geheel niet wil tegenspreken, kun je wel degelijk dingen in de fysieke werkelijkheid tellen, en bestaat er wel degelijk een ratio (verhouding tussen bepaalde dingen die je kunt meten. Irrationele getallen - zoals PI kun je echter nooit meten. Dat is wel een verschil. Ook binnen de wiskunde kun je er bepaalde dingen niet mee doen. Hoe zou je bijvoorbeeld wortel 2 en pi bij elkaar willen optellen of van elkaar aftrekken. Je kunt dat allee met rationele benaderingen van die grootheden. Nooit met de getallen zelf, want die kennen we helemaal niet. Of - als je benaderingen wel als kennis er van meetelt - niet helemaal. . .

Wiskunde wordt bestempeld als abstracte wetenschap. Cijfers daarin tegen zijn slechts de benaming van weldegelijk in de concrete wereld voorkomende verschijnsels. Pi behoort waar ze vandaan komt. In de wiskunde.

Idd heb je de plancklengte. Het kleinst mogelijke afstand die voorkomt. Tenminste, in de natuurkunde. Mij is duidelijk wat hier aan de hand is. Men haalt zaken door elkaar die gescheiden behoren te blijven.

[Peter van Velzen]

Idd heb je de plancklengte. Het kleinst mogelijke afstand die voorkomt. Tenminste, in de natuurkunde. Mij is duidelijk wat hier aan de hand is. Men haalt zaken door elkaar die gescheiden behoren te blijven.

Hebben we de plancklengte? Ik denk dat die niet waarneembaar is dus hij bestaat - vermoed ik - alleen in theorie. Ik ging uit van atomen, en zelfs die nemen we niet echt op een visuele manier waar. Maar het leuke is dat er in wezen ook een eenheid is binnen welke wij Pi in de wiskunde niet kennen, hoeveel miljoen decimalen er ook bekend zijn. De eerstvolgende decimaal kennen we niet. in de praktijk is de meest preciese benadering ervan die we kennen (wat dat ook eigenlijk moge betekenen), gewoon een rationeel getal is! De n-de decimaal is dan (tijdelijk) ons wiskundige atoom. Totdat de volgende decimaal is berekend uiteraard.

[lanier]

Hebben we de plancklengte? Ik denk dat die niet waarneembaar is dus hij bestaat - vermoed ik - alleen in theorie.

De plancklengte is een eenheid afgeleid van natuurkundige constantes. Dat heeft wel iets meer inhoud dan dat het alleen in theorie bestaat. Dan nog, er zijn genoeg andere denkbare schalen zoals de doorsnede van een proton of electron.

[axxyanus]

Zoals eerder als gesteld. Geen enkel getal bestaat in de werkelijkheid. Alle getallen zijn abstracties.

Hoewel ik dit in het geheel niet wil tegenspreken, kun je wel degelijk dingen in de fysieke werkelijkheid tellen, en bestaat er wel degelijk een ratio (verhouding tussen bepaalde dingen die je kunt meten. Irrationele getallen - zoals PI kun je echter nooit meten. Dat is wel een verschil.

Waarom haal jij altijd tellen en meten door elkaar? Heb jij al eens -5 zaken geteld? Heb jij al een 44/5 geteld? Heb jij trouwens al eens een exact geheel getal van iets gemeten of geef je toe dat er een meetfout op zat en dat de werkelijke lengte waarschijnlijk geen geheel getal was?

Ook binnen de wiskunde kun je er bepaalde dingen niet mee doen. Hoe zou je bijvoorbeeld wortel 2 en pi bij elkaar willen optellen of van elkaar aftrekken.

Gewoon: π + √2 of π - √2

Je kunt dat allee met rationele benaderingen van die grootheden. Nooit met de getallen zelf, want die kennen we helemaal niet. Of - als je benaderingen wel als kennis er van meetelt - niet helemaal. . .

Onzin, jij verwart het optellen met het resultaat neerschrijven in decimale vorm.

Trouwens wat is de relevantie daarvan? Niemand betwist gehele getallen verschillen van rationale getallen die weer verschillen van reële getallen. Maar zo'n verschil wil daarom nog niet zeggen dat het een wel bestaat op empirische wijze en het andere niet.

[Peter van Velzen]

Hebben we de plancklengte? Ik denk dat die niet waarneembaar is dus hij bestaat - vermoed ik - alleen in theorie.

De plancklengte is een eenheid afgeleid van natuurkundige constantes. Dat heeft wel iets meer inhoud dan dat het alleen in theorie bestaat. Dan nog, er zijn genoeg andere denkbare schalen zoals de doorsnede van een proton of electron.

Ik stelde dat wij de afmeting van een compleet atoom nog niet eens direct kunnen waarnemen. Als ik daar gelijk in heb, dan zijn kleinere schalen al helemaal niet waarneembaar. We kunnen alleen indirect afleiden dat ze moeten bestaan. Dat is trouwens ook een zwak punt in mijn verhaaltje. Waarschijnlijk kun je het aantal atomen in de diameter of de omtrek van een cirkelvormige goudfolie helemáál niet tellen. Maar wetenschappers hebben me al vaker versteld doen staan, dus miscchien kunnen sommigen dat wél.

[Peter van Velzen]

Waarom haal jij altijd tellen en meten door elkaar? Heb jij al eens -5 zaken geteld? Heb jij al een 44/5 geteld? Heb jij trouwens al eens een exact geheel getal van iets gemeten of geef je toe dat er een meetfout op zat en dat de werkelijke lengte waarschijnlijk geen geheel getal was?

Ik beweer dat meten een vorm van tellen is. In wezen tel je het aantal streepjes op je meetlat, dat overeenkomt met de lengte die je meet. De consequentie is dat je resultaat altijd bestaat uit een aantal kleinste waarneembare eenheden, en een foutmarge. Dat aantal is altijd een natuurlijk getal, en de foutmarge is dat niet. De foutmarge is echter ook geen irrationeel getal, we weten alleen dat zij niet groter is dan de kleinste waarneembare eenheid. 44/5 tellen kan niet. Je kunt wel 44 tellen en 5. Een meting levert altijd een natuurlijk getal op. Maar Pi - daar ging het oorspronkelijk over - is, als je haar uit metingen afleid, altijd de ratio tussen twee van die natuurlijke getallen. Ergo, als je Pi empirisch probeert vast te stellen, krijg je als antwoord altijd een rationeel getal. UIteraard met een foutmarge. Als we echter in staat zouden zijn nauwkeuriger te meten, zou de waarde van PI altijd van dat rationele getal afwijken. Dat doet het zelfs als we niet fysiek meten, maar een theoretische berekening doen. In dat geval zal Pi bestaan uit twee rationele getallen, waartussen PI zich moet bevinden. En ook dan weten we dat als we verder rekenen, we een nauwkeuriger waarde zouden kunnen krijgen, die nooit gelijk zal zijn aan ons voorgaande resultaat. (in decimalen uitgedrukt kan het in bijna een op de tien gevallen wel gelijk zijn, maar dat is een gevolg van die beperkte uitdrukkingswijze. ALs je zuiver over de rationele getallen werkt - zonder afronding op decimalen - is het nooit gelijk aan het voorgaande resultaat)

Ergo in de praktijk werken we met rationele getallen en ja we drukken dat toevallig altijd uit in een decimaal getal. Maar dat is uiteraard niet noodzakelijk. We zouden willekeurig welke deler kunnen gebruiken en daarmee zelfs een grotere nauwkeurigheid bereiken, maar de decimale schrijfwijze is die welke wij het beste begrijpen.(en die we ook kunnen nameten).

Het verschil tussen berekenen en meten is dat we net zo nauwkeurig kunnen berekenen, als dat we tijd en geduld hebben, maar dat metingen afhankelijk zijn van onze beschikbare meetinstrumenten. De nauwkeurigheid waarmee men Pi heeft berekend (meer dan een miljoen decimalen) is uiteraard onzin als we haar willen vergelijken met een fysieke meting. Zover ik weet zouden we op de schaal van het zichtbare heelal twee metingen moeten doen die nauwkeuriger zijn dan zelfs de plancklengte. Hetgeen natuurlijk onmogelijk is.

[Bonjour]

How I need a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving measure irrationa(ls)

[axxyanus]

Peter ik zie weinig argumenten die wat mij betreft van belang zijn. Je komt op mij over als iemand die beweert dat een fiets geen echt voertuig is en die daarna als uitleg allerlei zaken opsomt die je met een fiets niet kan doen en hoe een fiets verschilt van een echt voertuig zoals een auto maar die uiteindelijk geen argument aanreikt waarom dat soort zaken een rol moet spelen in het bepalen of een fiets een echt voertuig is en dat het antwoord daarop negatief is in tegenstelling tot een auto.

Getallen zijn abstracties, geen enkel getal is empirisch vast te stellen. Ja en sommige getallen zoals negatieve getallen en breuken zijn complexere abstracties omdat ze voortbouwen op de eenvoudigere abstracties van de natuurlijke getallen.

En als jij die abstracties op een bepaald moment te hoog gegrepen voelt om ze nog echt te noemen dan is dat toch echt je persoonlijk aanvoelen.

Ik merk hierbij op dat je steeds opnieuw de negatieve getallen gewoon negeert. Waarom is dat? Hoe stel je bv empirisch -8 vast?