Getallen

Serieuze discussies over het menselijk denken en gedrag

Moderator: Moderators

Gebruikersavatar
Peter van Velzen
Moderator
Berichten: 14854
Lid geworden op: 02 mei 2010 10:51
Locatie: ampre muang trang thailand

Re: Getallen

Bericht door Peter van Velzen » 04 jun 2017 19:19

The Black Mathematician schreef:
Peter van Velzen schreef: Ik heb het over de volgorde waarin ik de getallen met oneindig veel decimalen van Cantor in gedachten plaats: Die luidt: 0,1 t/m 0,9 dan 0,01 t/m 0,91, dan 0,02 t/m 0,92 enzovoort t/m 0,09 t/m 0,99 dan 0,001 t/m 0,091 enzovoort ad infinitum. Als je het recept kent dan ken je de hele reeks, ook al is hij oneindig.
Okee. Je telt alleen niet alle reële getallen tussen 0 en 1 af. Niet eens alle breuken tussen 0 en 1, want bijvoorbeeld 1/3 zit hier niet in. Je kan hooguit getallen in deze lijst vinden die naar 1/3 convergeren (0.3, 0.33, 0.333, etc.), maar 1/3 zelf zit er niet in.
Dat zou waar zijn als de verzameling eindig was maar het uitgangspunt was de verzameling die Cantor in zijn diagonaalbewijs gebruikt, alleen ik stel me voor dat ze in een bepaalde volgorde staat. Die verzameling was nu juist oneindig en bevatte volgens Cantor alle reële getallen tussen 0 en 1. Je kritiek zou betekenen die verzameling niet bestaat. Dat is een zwaardere kritiek dan die welke ik hier opper. Het is wel in overeenstemming met hoe Norman WIldberger er over denkt. Je zou de rij ook in oplopende volgorde kunnen denken, maar dat ziet er niet uit. Alle getallen die je dan kunt tonen luiden dan 0,000000000000000000... Ook dan kun je aan elke regel een natuurlijk getal koppelen, maar ik geef toe dat dat er niet erg overtuigend uit ziet. In aflopende volgorde kan zeker niet, want er is geen laatste cijfer (de decimalen zijn immers oneindig). dus daar kun je niet mee beginnen. Vandaar mijn wat excentrieke keuze die in elk geval het begin van de rij zichtbaar maakt.

Waarom denken toch alle wiskundigen dat de lijst van alle oneindige decimalen tussen 0 en 1 niet langer de lijst van oneindige decimalen tussen 0 en 1 is. zodra je de volgorde er van vaststelt? Het is mij nog altijd niet duidelijk.
Ik wens u alle goeds

Gebruikersavatar
TIBERIUS CLAUDIUS
Diehard
Berichten: 1363
Lid geworden op: 02 mei 2017 18:24
Locatie: CAPRI

Re: Getallen

Bericht door TIBERIUS CLAUDIUS » 04 jun 2017 19:21

axxyanus


Dat laatste lijkt me niet waar.



Want als ik het goed begrijp is dan de machtsverzameling van de natuurlijke getallen gelijkmachtig aan de reële getallen.

Dit is echter niet bewijsbaar.
En als er nu meer keizers zijn geweest dan maanden, wat dan, geachte senatoren?

Gebruikersavatar
The Black Mathematician
Ervaren pen
Berichten: 917
Lid geworden op: 28 mei 2005 01:40

Re: Getallen

Bericht door The Black Mathematician » 04 jun 2017 19:40

Peter van Velzen schreef:
The Black Mathematician schreef:
Peter van Velzen schreef: Ik heb het over de volgorde waarin ik de getallen met oneindig veel decimalen van Cantor in gedachten plaats: Die luidt: 0,1 t/m 0,9 dan 0,01 t/m 0,91, dan 0,02 t/m 0,92 enzovoort t/m 0,09 t/m 0,99 dan 0,001 t/m 0,091 enzovoort ad infinitum. Als je het recept kent dan ken je de hele reeks, ook al is hij oneindig.
Okee. Je telt alleen niet alle reële getallen tussen 0 en 1 af. Niet eens alle breuken tussen 0 en 1, want bijvoorbeeld 1/3 zit hier niet in. Je kan hooguit getallen in deze lijst vinden die naar 1/3 convergeren (0.3, 0.33, 0.333, etc.), maar 1/3 zelf zit er niet in.
Dat zou waar zijn als de verzameling eindig was maar het uitgangspunt was de verzameling die Cantor in zijn diagonaalbewijs gebruikt, alleen ik stel me voor dat ze in een bepaalde volgorde staat. Die verzameling was nu juist oneindig en bevatte volgens Cantor alle reële getallen tussen 0 en 1. Je kritiek zou betekenen die verzameling niet bestaat.
Dat is het hele punt van Cantor dat die lijst niet bestaat!!! Ik heb echt geen flauw idee meer waar je nu mee bezig bent. Het lijkt erop dat je eerst een lijst met alle reële getallen wil construeren en nu ineens beweer je dat die lijst niet bestaat. Met dat laatste ben ik het helemaal mee eens, maar wat wil je nou allemaal beweren?

De lijst die je hierboven produceert bevat in ieder geval ook in het oneindige geval geen 1/3. Een oneindige lijst kan je hier voorstellen als een oneindig lang stuk papier waarbij je op elke regel een getal neerzet. Punt is dat er oneindig veel regels zijn, maar elke regel kan gelabeld worden met een eindig getal n die aangeeft dat het de n-de regel is. Oneindigheid van de lijst houdt in dat er geen bovengrens voor n is. Je hebt dus een eerste regel (die in jouw geval het getal 0,1 bevat), een tweede regel (met daarop het getal 0,2), een derde regel met het getal 0,9), een tiende regel (met daarop het getal 0,01), etcetera. Jouw voorschrift van de lijst bevat alleen getallen met eindig veel decimalen (waarbij ik een getal waarvan de decimale ontwikkeling eindigt met oneindig veel nullen zie als een getal met eindig veel decimalen). 1/3 echter is een getal met oneindig veel decimalen, en komt dus niet in je lijst voor.

Dat is een zwaardere kritiek dan die welke ik hier opper. Het is wel in overeenstemming met hoe Norman WIldberger er over denkt. Je zou de rij ook in oplopende volgorde kunnen denken, maar dat ziet er niet uit. Alle getallen die je dan kunt tonen luiden dan 0,000000000000000000... Ook dan kun je aan elke regel een natuurlijk getal koppelen, maar ik geef toe dat dat er niet erg overtuigend uit ziet. In aflopende volgorde kan zeker niet, want er is geen laatste cijfer (de decimalen zijn immers oneindig). dus daar kun je niet mee beginnen. Vandaar mijn wat excentrieke keuze die in elk geval het begin van de rij zichtbaar maakt.
Dit is inderdaad een onzinconstructie.
Waarom denken toch alle wiskundigen dat de lijst van alle oneindige decimalen tussen 0 en 1 niet langer de lijst van oneindige decimalen tussen 0 en 1 is. zodra je de volgorde er van vaststelt? Het is mij nog altijd niet duidelijk.
Omdat een lijst meer structuur heeft dan een verzameling, namelijk dat elk element gelabeld is door een natuurlijk getal. Omdat de natuurlijke getallen geordend zijn, veronderstelt dat ook een volgorde van de elementen van je lijst.
Shut up Murdock, crazy fool!

Gebruikersavatar
axxyanus
Moderator
Berichten: 6375
Lid geworden op: 08 nov 2008 21:23

Re: Getallen

Bericht door axxyanus » 04 jun 2017 19:54

Peter van Velzen schreef:
The Black Mathematician schreef:
Peter van Velzen schreef: Ik heb het over de volgorde waarin ik de getallen met oneindig veel decimalen van Cantor in gedachten plaats: Die luidt: 0,1 t/m 0,9 dan 0,01 t/m 0,91, dan 0,02 t/m 0,92 enzovoort t/m 0,09 t/m 0,99 dan 0,001 t/m 0,091 enzovoort ad infinitum. Als je het recept kent dan ken je de hele reeks, ook al is hij oneindig.
Okee. Je telt alleen niet alle reële getallen tussen 0 en 1 af. Niet eens alle breuken tussen 0 en 1, want bijvoorbeeld 1/3 zit hier niet in. Je kan hooguit getallen in deze lijst vinden die naar 1/3 convergeren (0.3, 0.33, 0.333, etc.), maar 1/3 zelf zit er niet in.
Dat zou waar zijn als de verzameling eindig was maar het uitgangspunt was de verzameling die Cantor in zijn diagonaalbewijs gebruikt, alleen ik stel me voor dat ze in een bepaalde volgorde staat.
Het is ook waar met jouw oneindige verzameling. Als een element in een verzameling zit, dan bestaat er ook een eindige deelverzameling waar dat element in zit. Maar in geen enkele eindige deelverzameling zit 1/3 want in elke eindige deelverzameling zitten enkel elementen met een eindige decimale expantie.
Peter van Velzen schreef:Die verzameling was nu juist oneindig en bevatte volgens Cantor alle reële getallen tussen 0 en 1. Je kritiek zou betekenen die verzameling niet bestaat.
Nee daar komt die kritiek niet op neer.
Peter van Velzen schreef:Waarom denken toch alle wiskundigen dat de lijst van alle oneindige decimalen tussen 0 en 1 niet langer de lijst van oneindige decimalen tussen 0 en 1 is. zodra je de volgorde er van vaststelt? Het is mij nog altijd niet duidelijk.
Je verwart een volgorde met aftelbaarheid of oplijstbaar.
Al mijn hier gebrachte meningen, zijn voor herziening vatbaar.
Mijn Unitarian Jihad Naam: Sister Sabre of Patience; Haal de jouwe hier
De illusie het verleden te begrijpen, voedt de illusie dat de toekomst voorspelbaar en beheersbaar is -- naar Daniël Kahneman

Gebruikersavatar
axxyanus
Moderator
Berichten: 6375
Lid geworden op: 08 nov 2008 21:23

Re: Getallen

Bericht door axxyanus » 04 jun 2017 19:57

The Black Mathematician schreef:
Peter van Velzen schreef: Dat zou waar zijn als de verzameling eindig was maar het uitgangspunt was de verzameling die Cantor in zijn diagonaalbewijs gebruikt, alleen ik stel me voor dat ze in een bepaalde volgorde staat. Die verzameling was nu juist oneindig en bevatte volgens Cantor alle reële getallen tussen 0 en 1. Je kritiek zou betekenen die verzameling niet bestaat.
Dat is het hele punt van Cantor dat die lijst niet bestaat!!! Ik heb echt geen flauw idee meer waar je nu mee bezig bent. Het lijkt erop dat je eerst een lijst met alle reële getallen wil construeren en nu ineens beweer je dat die lijst niet bestaat. Met dat laatste ben ik het helemaal mee eens, maar wat wil je nou allemaal beweren?
Ik wil er wel even op wijzen dat Peter van Velzen het gewoon over een verzameling heeft. Hij schijnt het verschil niet te begrijpen tussen een verzameling en een lijst.
Al mijn hier gebrachte meningen, zijn voor herziening vatbaar.
Mijn Unitarian Jihad Naam: Sister Sabre of Patience; Haal de jouwe hier
De illusie het verleden te begrijpen, voedt de illusie dat de toekomst voorspelbaar en beheersbaar is -- naar Daniël Kahneman

Gebruikersavatar
The Black Mathematician
Ervaren pen
Berichten: 917
Lid geworden op: 28 mei 2005 01:40

Re: Getallen

Bericht door The Black Mathematician » 04 jun 2017 20:01

Verderop heeft hij het wel over een lijst, maar soit. Het lijkt er inderdaad op dat hij het verschil niet begrijpt.
Shut up Murdock, crazy fool!

Gebruikersavatar
Peter van Velzen
Moderator
Berichten: 14854
Lid geworden op: 02 mei 2010 10:51
Locatie: ampre muang trang thailand

Re: Getallen

Bericht door Peter van Velzen » 04 jun 2017 20:43

Axxyanus, ik wil je best geloven. Maar nadat ik heb uitgezocht wat die symbolen zoal betekenen, kom ik tot de conclusie dat als B een deel van A is, dat niet betekent dat er een functie van b is die gelijk is aan B. Dat zou naar mijn bescheiden mening alleen het geval zijn als B een deel is van P(A) (en b een deel van A). Als je dat aanpast, dan lijkt het wel te kloppen. Maar wat is de machtsverzameling van alle natuurlijke getallen? Dat hij meer elementen bevat dan er natuurlijke getallen zijn lijkt mij evident, maar wat het voor moet stellen, daar heb ik geen idee van. Ach wacht, dat doet er niet toe want het gaat eigenlijk alleen maar om een verzameling met dat zelfde aantal elementen. Het geldt dus voor elke verzameling die evenveel binaire waardes heeft als er met alle natuurlijke getallen gevormd kan worden. Maar dat zijn er oneindig veel. Volgens mij kun je niet bepalen hoeveel binaire getallen er met oneindig veel cijfers gevormd kunnen worden. oneindig is namelijk geen getal, dus daar kun je niet mee rekenen. Als het wel zou kunnen dan is het nog maar de vraag of dit aantal groter is dan het aantal rationale getallen.

Ik twijfel namelijk meer aan de veronderstelling dat de rationele getallen dezelfde kardinaliteit hebben als de natuurlijke getallen dan aan de veronderstelling dat de reële getallen een grotere kardinaliteit hebben. Mijn openingsbericht geeft dat ook aan. Het in volgorde kunnen zetten van de getallen bewijst mijns inziens niets.
Ik wens u alle goeds

Gebruikersavatar
Peter van Velzen
Moderator
Berichten: 14854
Lid geworden op: 02 mei 2010 10:51
Locatie: ampre muang trang thailand

Re: Getallen

Bericht door Peter van Velzen » 04 jun 2017 20:44

The Black Mathematician schreef:Verderop heeft hij het wel over een lijst, maar soit. Het lijkt er inderdaad op dat hij het verschil niet begrijpt.
inderdaad is mij niet duidelijk wat het verschil is! Volkomen juist opgemerkt.
Ik wens u alle goeds

Gebruikersavatar
Peter van Velzen
Moderator
Berichten: 14854
Lid geworden op: 02 mei 2010 10:51
Locatie: ampre muang trang thailand

Re: Getallen

Bericht door Peter van Velzen » 04 jun 2017 20:45

Axxyanus, ik wil je best geloven. Maar nadat ik heb uitgezocht wat die symbolen zoal betekenen, kom ik tot de conclusie dat als B een deel van A is, dat niet betekent dat er een functie van b is die gelijk is aan B. Dat zou naar mijn bescheiden mening alleen het geval zijn als B een deel is van P(A) (en b een deel van A). Als je dat aanpast, dan lijkt het wel te kloppen. Maar wat is de machtsverzameling van alle natuurlijke getallen? Dat hij meer elementen bevat dan er natuurlijke getallen zijn lijkt mij evident, maar wat het voor moet stellen, daar heb ik geen idee van. Ach wacht, dat doet er niet toe want het gaat eigenlijk alleen maar om een verzameling met dat zelfde aantal elementen.
Ik wens u alle goeds

Gebruikersavatar
axxyanus
Moderator
Berichten: 6375
Lid geworden op: 08 nov 2008 21:23

Re: Getallen

Bericht door axxyanus » 04 jun 2017 21:07

Peter van Velzen schreef:Axxyanus, ik wil je best geloven. Maar nadat ik heb uitgezocht wat die symbolen zoal betekenen, kom ik tot de conclusie dat als B een deel van A is, dat niet betekent dat er een functie van b is die gelijk is aan B.
Neen dat volgt uit de veronderstelling dat er een bijectie kan bestaan tussen A en P(A). Want als een bijectie f bestaat tussen A en P(A) dan moet voor elke B ∈ P(A) (of B ⊂ A) een b ∈ A bestaan zodat f(b) = B.
Peter van Velzen schreef:Maar wat is de machtsverzameling van alle natuurlijke getallen?
Dat is de verzameling van alle deelverzamelingen van de natuurlijke getallen. B ∈ P(ℕ) ⇔ B ⊂ ℕ
Peter van Velzen schreef:Volgens mij kun je niet bepalen hoeveel binaire getallen er met oneindig veel cijfers gevormd kunnen worden. oneindig is namelijk geen getal, dus daar kun je niet mee rekenen. Als het wel zou kunnen dan is het nog maar de vraag of dit aantal groter is dan het aantal rationale getallen.
Als het om oneindige getallen gaat, dan tellen we niet maar proberen we vast te stellen in welke richting we een injectie kunnen hebben.
Peter van Velzen schreef:Ik twijfel namelijk meer aan de veronderstelling dat de rationele getallen dezelfde kardinaliteit hebben als de natuurlijke getallen dan aan de veronderstelling dat de reële getallen een grotere kardinaliteit hebben. Mijn openingsbericht geeft dat ook aan. Het in volgorde kunnen zetten van de getallen bewijst mijns inziens niets.
Het gaat niet om in volgorde zetten. Het gaat om de mogelijkheid van een bijectie vast te stellen tussen de verzameling en ℕ. Niet alle verzamelingen die je kan ordenen, hebben ook een bijectie met ℕ. En twee verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit als er een bijectie bestaat tussen de twee. Dus het kunnen oplijsten van de rationele getallen, toont de mogelijkheid van een bijectie aan en toont dus de zelfde kardinaliteit aan.
Al mijn hier gebrachte meningen, zijn voor herziening vatbaar.
Mijn Unitarian Jihad Naam: Sister Sabre of Patience; Haal de jouwe hier
De illusie het verleden te begrijpen, voedt de illusie dat de toekomst voorspelbaar en beheersbaar is -- naar Daniël Kahneman

Gebruikersavatar
The Black Mathematician
Ervaren pen
Berichten: 917
Lid geworden op: 28 mei 2005 01:40

Re: Getallen

Bericht door The Black Mathematician » 04 jun 2017 21:28

Peter van Velzen schreef:
The Black Mathematician schreef:Verderop heeft hij het wel over een lijst, maar soit. Het lijkt er inderdaad op dat hij het verschil niet begrijpt.
inderdaad is mij niet duidelijk wat het verschil is! Volkomen juist opgemerkt.
Een (oneindige) lijst is een verzameling waarin de plaats van de elementen van belang is. De naam "lijst" is overigens meer iets dat in computerwetenschappen gebruikt wordt. Wiskundigen gebruiken liever het woord "rij". Sommige computerwetenschappers gebruiken het woord "stroom" voor een oneindige lijst.

Een verzameling wordt doorgaans aangegeven met { }. Een lijst of rij met ( ). In geval van twee elementen zijn twee verzamelingen {a,b} en {c,d} aan elkaar gelijk als of a=c en b=d, of a=d en b=c. Twee lijsten (a,b) en (c,d) van twee elementen zijn aan elkaar gelijk alleen als a=c en b=d. Hier speelt de volgorde van a en b in (a,b) dus een rol! Dit werkt precies hetzelfde voor lijsten met meer elementen, inclusief oneindige lijsten.

Gegeven een functie f van de natuurlijke getallen naar een verzameling A kunnen we een oneindige lijst construeren:
( f(1), f(2), f(3), ... )
Andersom, gegeven een oneindige lijst van elementen in een verzameling kunnen we een functie f van natuurlijke getallen naar A construeren. f(1) definiëren we als het eerste element in de lijst, f(2) definiëren we als het tweede element in de lijst enzovoorts. De volgorde in de lijst is van belang, want als we geen volgorde hebben, kunnen we ook geen voorschrift voor f geven. Dus een functie van natuurlijke getallen naar A komt overeen met een oneindige lijst van elementen van A.

Twee verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit als er een bijectieve functie van de ene naar de andere verzameling bestaat. Dit is een functie die een inverse heeft. In termen van lijsten heeft een verzameling A dezelfde kardinaliteit als de natuurlijke getallen precies als er een lijst van elementen van A bestaat zodat elk element van A precies één keer in de lijst voorkomt. Een dergelijke lijst van breuken kan je construeren. In geval van de positieve breuken kan dit gedaan worden zoals de volgende afbeelding laat zien:

Afbeelding

Je start bij één, en volgt de pijl. Soms kom je een breuk tegen die je al hebt gehad (zoals 2/4), die gooi je weg zodat je niet twee of meer keer dezelfde breuk in je lijst hebt. Je krijgt dus de volgende lijst: (1, 2, 1/2, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4, 1,5, 5, 6, ...) waarin elke positieve breuk precies één keer voorkomt. Op eenzelfde wijze kun je ook een lijst van alle breuken construeren (begin met 0, en dupliceer elk element in de voorgaande lijst, maar zet er een minteken voor: (0, 1, -1, 2, -2, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 3, -3, 4, -4, 3/2, -3/2, ...) Derhalve hebben de natuurlijke getallen en de rationale getallen dezelfde kardinaliteit.
Shut up Murdock, crazy fool!

Gebruikersavatar
Peter van Velzen
Moderator
Berichten: 14854
Lid geworden op: 02 mei 2010 10:51
Locatie: ampre muang trang thailand

Re: Getallen

Bericht door Peter van Velzen » 05 jun 2017 08:39

Het gebruik van wiskundige symbolen, maakt helaas de berichten waarin ze voorkomen vrijwel onleesbaar voor wie die symbolen niet kent. Gelukkig is er een Wikipedia pagina waar ze allemaal uitgelegd worden: Zie hier

Met behulp van deze pagina ben ik er achter gekomen wat Axxyanus precies beweerde. Maar dezelfde redenatie is ook te lezen op de Wikipediapagina Diagonaalbewijs van Cantor
Maar wat wordt daar precies beweerd?

Er wordt gesproken over een machtsverzameling. Dat is de verzameling van alle mogelijke deelverzamelingen van een andere verzameling. zie hier Er wordt ook gesproken over een afbeelding zie hierAxxyanus schrijft over een functie, maar je kunt in deze link lezen dat dat hetzelfde is.

Vervolgens stelt men dat een dergelijke relatie bestaat tussen elk element van de oorspronkelijke verzameling en elk element van de daarbij behorende machtsverzameling. Dit lijkt me op voorhand onmogelijk. want zelfs bij een lege verzameling, bevat de machtsverzameling al 1 element (namelijk de lege verzameling zelf) en waar zou dat een afbeelding van kunnen zijn? Maar omdat het een bewijs uit het ongerijmde betreft, is dat geen bezwaar. De daarop volgende redenatie gaat immers deze intuïtie bewijzen.

Vervolgens postuleert men een nieuwe verzameling te weten (als ik het goed begrijp) de verzameling van alle elementen uit de oorspronkelijke die niet voorkomen in hun eigen afbeelding. Dit lijkt mij een lege verzameling, want alle elementen van de oorspronkelijke verzameling komen naar mijn mening voor in de machtsverzameling. En als het aantal elementen 1 is dan kan dat slechts waar zijn als zij in haar eigen afbeelding voorkomt. Maar dit gaat men dus bewijzen (ook voor meer dan één element).

Men kiest nu een willekeurige element uit de oorspronkelijke verzameling waarvan de afbeelding gelijk is aan de nieuwe verzameling. Hier duizelt het mij weer een beetje, want blijkbaar kan een afbeelding niet slechts een element opleveren maar een verzameling. Hoe ik me dat moet voorstellen ontgaat mij een beetje. Maar dat is vaak zo in de wiskunde.

Vervolgens wordt gesteld dat als het gekozen element voorkomt in de nieuwe verzameling zij ook voorkomt in haar afbeelding, maar de nieuwe verzameling had nu juist de eigenschap dat dit niet zo was. Omgekeerd als het gekozen element niet voorkomt in de nieuwe verzameling, dan komt zij niet voor in haar afbeelding. Maar de nieuwe afbeelding had nu juist de eigenschap dat dit wél zo was.

Dus er zijn geen elementen in de oorspronkelijke verzameling die niet voorkomen in hun eigen afbeelding
Ik denk dat ik de clou hier mis. Wat zou dat?

Misschien is de clou dezelfde als de reden voor mijn oorspronkelijke intuïtie, namelijk dat dit voor een machtsverzameling niet kan kloppen, want in elke element van de machtsverzameling (d.w.z. een deelverzameling van de oorspronkelijke) komt een van de elementen voor uit de oorspronkelijke verzameling behalve de lege verzameling. Omdat de relatie waaruit de afbeelding volgt één op één en wederkerig is moet dus ook de lege verzameling zich in de afbeelding bevinden van slechts één van de elementen van de oorspronkelijke verzameling. Echter: Als de lege verzameling slechts in de afbeelding voorkomt van één van de oorspronkelijke elementen, welke zou dat dan moeten zijn? Een dergelijke relatie is niet logisch. Dat elk element uit de oorspronkelijke verzameling voorkomt in meerdere elementen uit de machtsverzameling is op zich geen probleem. De functie/afbeelding, kan immers zo gekozen worden dat ze alleen de deelverzamelingen bevat die wél het element uit de oorspronkelijke verzameling bevat, maar niet een der volgende elementen. Dit vereist wel dat er een volgorde mogelijk is in de oorspronkelijke verzameling.

Ik hoop dat ik het nu snap, maar met mijn gebrekkige talent voor wiskunde is dat nog maar de vraag.
Ik wens u alle goeds

Gebruikersavatar
axxyanus
Moderator
Berichten: 6375
Lid geworden op: 08 nov 2008 21:23

Re: Getallen

Bericht door axxyanus » 05 jun 2017 09:13

Peter van Velzen schreef: Vervolgens postuleert men een nieuwe verzameling te weten (als ik het goed begrijp) de verzameling van alle elementen uit de oorspronkelijke die niet voorkomen in hun eigen afbeelding. Dit lijkt mij een lege verzameling, want alle elementen van de oorspronkelijke verzameling komen naar mijn mening voor in de machtsverzameling. En als het aantal elementen 1 is dan kan dat slechts waar zijn als zij in haar eigen afbeelding voorkomt. Maar dit gaat men dus bewijzen (ook voor meer dan één element).
Neen, dat hoeft de lege verzameling niet te zijn. Neem de volgende afbeelding van ℕ naar P(ℕ): f(n) = {2i | i < n}
Dat geeft dan de volgende resultaten:
f(0) = {} ⇒ 0 ∉ f(0)
f(1) = {0} ⇒ 1 ∉ f(1)
f(2) = {0, 2} ⇒ 2 ∈ f(2)
f(3) = {0, 2, 4} ⇒ 3 ∉ f(3)
f(4) = {0, 2, 4, 6} ⇒ 4 ∈ f(4)
...
In dit geval hebben we Bf = {0, 1, 3, 5, ...}
Al mijn hier gebrachte meningen, zijn voor herziening vatbaar.
Mijn Unitarian Jihad Naam: Sister Sabre of Patience; Haal de jouwe hier
De illusie het verleden te begrijpen, voedt de illusie dat de toekomst voorspelbaar en beheersbaar is -- naar Daniël Kahneman

Gebruikersavatar
Peter van Velzen
Moderator
Berichten: 14854
Lid geworden op: 02 mei 2010 10:51
Locatie: ampre muang trang thailand

Re: Getallen

Bericht door Peter van Velzen » 05 jun 2017 09:57

axxyanus schreef: Neen, dat hoeft de lege verzameling niet te zijn. Neem de volgende afbeelding van ℕ naar P(ℕ): f(n) = {2i | i < n}
Dat geeft dan de volgende resultaten:
f(0) = {} ⇒ 0 ∉ f(0)
f(1) = {0} ⇒ 1 ∉ f(1)
f(2) = {0, 2} ⇒ 2 ∈ f(2)
f(3) = {0, 2, 4} ⇒ 3 ∉ f(3)
f(4) = {0, 2, 4, 6} ⇒ 4 ∈ f(4)
...
In dit geval hebben we Bf = {0, 1, 3, 5, ...}
Het komt mij voor dat f(n) in dat geval niet tot de machtsverzameling van ℕ leidt. Tóch?
En het uitgangspunt was dat ze dat wel deed. Tóch?
Ik wens u alle goeds

Gebruikersavatar
axxyanus
Moderator
Berichten: 6375
Lid geworden op: 08 nov 2008 21:23

Re: Getallen

Bericht door axxyanus » 05 jun 2017 10:19

Peter van Velzen schreef:
axxyanus schreef: Neen, dat hoeft de lege verzameling niet te zijn. Neem de volgende afbeelding van ℕ naar P(ℕ): f(n) = {2i | i < n}
Dat geeft dan de volgende resultaten:
f(0) = {} ⇒ 0 ∉ f(0)
f(1) = {0} ⇒ 1 ∉ f(1)
f(2) = {0, 2} ⇒ 2 ∈ f(2)
f(3) = {0, 2, 4} ⇒ 3 ∉ f(3)
f(4) = {0, 2, 4, 6} ⇒ 4 ∈ f(4)
...
In dit geval hebben we Bf = {0, 1, 3, 5, ...}
Het komt mij voor dat f(n) in dat geval niet tot de machtsverzameling van ℕ leidt. Tóch?
En het uitgangspunt was dat ze dat wel deed. Tóch?
Wat bedoel je juist? Dat er in dit geval verzamelingen zijn waarvoor geen element in ℕ bestaat, dat op die verzameling afbeeldt? Dat klopt maar dat was het punt niet van deze tussenkomst. Het leek erop dat je beweerde dat B enkel leeg kon zijn, wat niet noodzakelijk het geval is. Dat wilde ik gewoon even illustreren.
Al mijn hier gebrachte meningen, zijn voor herziening vatbaar.
Mijn Unitarian Jihad Naam: Sister Sabre of Patience; Haal de jouwe hier
De illusie het verleden te begrijpen, voedt de illusie dat de toekomst voorspelbaar en beheersbaar is -- naar Daniël Kahneman

Plaats reactie