Getallen

Serieuze discussies over het menselijk denken en gedrag

Moderator: Moderators

Gebruikersavatar
Peter van Velzen
Moderator
Berichten: 14853
Lid geworden op: 02 mei 2010 10:51
Locatie: ampre muang trang thailand

Getallen

Bericht door Peter van Velzen » 03 jun 2017 07:49

Getallen vormen geen deel van de waarneembare werkelijkheid. Ze bestaan slechts als idee, of als symbool voor dat idee, en ze danken hun bestaan dan ook uitsluitend aan het feit dat we ze kunnen bedenken. We komen ze in de natuur niet tegen. Wat we wel tegenkomen zijn soortgelijke voorwerpen of soortgelijke wezens. Die kunnen we tellen, en daarbij vormen we getallen.

De getallen waarmee we tellen noemen we natuurlijke getallen. Omdat ze overeen kunnen stemmen met zaken in de natuur zoals appels of bananen of aangeklede apen. Zo’n getal ontstaat in eerste instantie door tellen. We kunnen het totaal van twee getallen tellen; dat heet optellen. We kunnen het totaal van een aantal dezelfde getallen tellen; dat heet vermenigvuldigen. Het resultaat van al die tellingen zijn nieuwe getallen. En – ook al komt een dergelijk aantal (zeg 9 quadriljoen) in de natuur niet voor als bijvoorbeeld een hoeveelheid appels, toch bestaat zo’n getal als idee, zodra we het verzinnen.

Je kunt je ook afvragen welk getal je bij een bepaald getal (x) moet optellen om een ander getal (y) te krijgen. Als je niet zorgvuldig vermijdt dat x groter is dan y, zul je de negatieve getallen ontdekken. (Als x = 5 en y = 3, dan is het getal dat je er bij moet optellen -2). De negatieve getallen plus de natuurlijke getallen plus het getal 0, vormen de gehele getallen.

Je kunt zoveel gehele getallen bedenken als je maar wilt. Er bestaat geen kleinste geheel getal, omdat je er altijd nog één van kunt aftrekken (ofwel er -1 bij optellen) en er bestaat geen grootste geheel getal omdat je er altijd nog één bij kunt optellen. Maar als je de gehele getallen verdeeld in twee sets zodanig dat de getallen in de ene set allemaal kleiner zijn dan de getallen in de andere set, is er wél een grootste getal in de “kleiner” set, en een kleinste getal in de “groter” set.

We kunnen ook delen. Zo kun je in de waarneembare werkelijkheid een zak knikkers gelijk verdelen over drie kinderen, door ze één voor één beurtelings aan het 1e het 2e het 3e kind te geven en vervolgens weer aan het 1e. Je zult dan ontdekken dat het niet uitkomt. Twee kinderen krijgen dan 2 knikkers en één kind krijgt er maar één. Als je jaloezie wilt voorkomen kun je elk kind maar één knikker geven en hou je er twee over: De rest. Anders is het als je een portie rijst of een fles drank wilt verdelen. Je kunt dan altijd ongeveer evenveel rijst of drank aan elk kind geven, door de hoeveelheid die beschikbaar is in drie vrijwel gelijke porties te verdelen. Als de oorspronkelijke hoeveelheid één kilo bedroeg. Krijgen de kinderen elk ongeveer 1/3 kilo. We hebben een nieuw soort getal bedacht: Een breuk. Gaat dit in de waarneembare werkelijkheid slechts ongeveer op (alleen als het aantal moleculen in de betreffende stof deelbaar is door het aantal kinderen kun je ze geheel gelijk verdelen), in onze gedachten kan die hoeveelheid altijd geheel identiek zijn.

Het geheel van gehele getallen en breuken noemen we rationele getallen. Niet omdat ze redelijk zijn, maar omdat er altijd een ratio (verhouding) is tussen elke twee rationele getallen die kan worden uitgedrukt met behulp van twee gehele getallen.

Als we nu echter de rationele getallen verdelen in twee sets, zoals we bij de gehele getallen deden, is er niet altijd een grootste getal in de “kleiner” groep én een kleinste getal in de “groter”groep. Immers als we die twee rationele getallen (r1, en r2) hebben, kunnen we namelijk een nieuw rationeel getal bedenken dat tussen deze twee getallen in moet liggen. Bijvoorbeeld (r1+r2)/2. Dat getal moet ook in een der beide groepen vallen en als r1 het grootste getal in de “kleiner” groep is, dan valt dat nieuwe getal in de “groter” groep, terwijl het kleiner is dat r2. Omgekeerd is r2 het kleinste getal in de “groter” groep dan valt het nieuwe getal in de “kleiner” groep terwijl het groter is dan r1. Ergo: er kan wel een grootste getal in de “kleiner” groep zijn of een kleinste getal in de groter groep. Maar allebei kán niet! Kan het zijn dat we de getallen zo verdelen dat er noch een grootste getal in de “kleiner” groep is, noch een kleinste getal in de “groter” groep?

Ja dat kan!
We kunnen in de “kleiner” groep alle getallen plaatsen die – als je ze met zichzelf vermenigvuldigd kleiner zijn dan twee, en in de “groter” groep alle getallen die – als je ze met zichzelf vermenigvuldigd groter zijn dan twee. Is er dan niet een getal dat we niet hebben ingedeeld. (het getal dat als we het met zichzelf vermenigvuldigen precies twee oplevert? Het antwoord is nee. Want zo’n rationeel getal bestaat niet. Rationele getallen kunnen altijd geschreven worden als de deling van twee gehele getallen (n/m) en als n en m een gemeenschappelijke deler hebben zodanig dat delen door die deler een nieuw geheel getal oplevert, kunnen we beiden daardoor delen, zodat die gemeenschappelijke deler er niet meer is. Dientengevolge kan die betreffende breuk altijd worden geschreven als een breuk waarvan alleen n óf m deelbaar is door 2 en niet allebei. Maar als n (de teller) deelbaar is door 2, dan is de teller van n/m vermenigvuldigd met zichzelf deelbaar door 2. En het resultaat kan dan nimmer 2 zijn, als de deler niet óók deelbaar is door 2. Anderzijds, als de teller niet deelbaar is door 2 dan kan de teller van n/m vermenigvuldigd met zichzelf ook niet deelbaar zijn door 2, en kan het resultaat evenmin 2 zijn.

Aldus heeft men de irrationele getallen bedacht, dat zijn getallen waar men vaak wel een beschrijving voor heeft, maar die met zekerheid niet tot de rationele getallen behoren. De verdeling van alle rationele getallen in een “kleiner” en een “groter” groep, noemt men een Dedekindsnede, en men heeft afgesproken dat Dedekindsnedes die óf een grootste getal in de “kleiner”, óf een kleinste getal in de “groter” groep. Beiden dát (rationele) getal beschrijven, terwijl Dedekindsnedes die zo’n getal niet kennen noodzakelijkerwijs een irrationeel getal beschrijven.

Je kunt deze Dedekindsnedes echter niet onbeperkt manipuleren. Zo kun je soms wél één getal van de “kleiner” groep verplaatsen naar de groter groep (of andersom), maar dat getal vormde dan in de ene snede het grootste getal in de “kleiner” groep en in de andere snede het kleinste getal in de “groter” groep. Dat kan dus niet bij sneden die een irrationeel getal beschrijven. Als de “kleiner” groep geen grootste getal kent, dan kan men nooit één enkel getal verhuizen naar de “groter” groep. In mijn boek van Dr. F. Schuh (1928) getiteld “het onmeetbare getal” wordt dan ook gesteld dat er zich tussen twee irrationele getallen altijd minstens twee rationele getallen moeten bevinden. Een grof understatement zoals ik hieronder zal uitleggen.

Omdat met tussen twee rationele getallen – zoals eerder beschreven, altijd een nieuw rationeel getal kan ontdekken, en tussen dat getal en de oorspronkelijke twee, weer twee, en daartussen weer vier et cetera, blijken er tussen de twee rationele getallen (en dus ook tussen de twee irrationele getallen) zelfs eindeloos veel rationele getallen te vinden te zijn. Maar het is erger. Men kan het verschil tussen elke twee rationele getallen (r1 en r2) delen door 2: resultaat q1. het irrationele getal dat met zichzelf vermenigvuldigd 2 oplevert vermenigvuldigen met q1: resultaat p1. en vervolgens een nieuw irrationeel getal verkrijgen (r1 + p1). (men moet mij nu even geloven als ik beweer dat dit óók een irrationeel getal is, want ik zou een heel hoofdstuk uit het voornoemde boek moeten citeren, om dit te bewijzen. Misschien zelfs nog meer dan dat. (het boek laat de lezer de bewijzen soms zélf uitwerken). Tussen elke twee rationele getallen bevinden zich dus niet alleen eindeloos veel rationele getallen, er bevinden zich daar ook eindeloos veel irrationele getallen, en hetzelfde is noodzakelijkerwijs dan ook waar tussen twee irrationele getallen.

De bewering dat er méér irrationele getallen zouden zijn dat rationele getallen verliest in dit licht elke betekenis. Men kan tussen elke twee irrationele getallen immers oneindig veel rationele getallen ontdekken. Maar méér rationele getallen zijn er ook niet want met kan tussen elke twee rationele getallen altijd verscheidene (je kunt ook behulp met andere irrationele getallen dan de wortel uit 2, een nieuw irrationeel getal tussen twee rationele getallen bepalen). In de zee van eindeloosheid waarin we hier verdwalen heeft “meer” of “minder” nauwelijks enige betekenis.
Ik wens u alle goeds

Gebruikersavatar
dikkemick
Ontoombaar
Berichten: 11434
Lid geworden op: 07 mar 2013 18:36

Re: Getallen

Bericht door dikkemick » 03 jun 2017 13:43

En zijn imaginaire getallen hetzelfde als irrationele getallen? Of is dit weer een heel andere subcategorie?
Reality is that which, when you stop believing in it, doesn't go away.
Philip K. Dick

Gebruikersavatar
The Black Mathematician
Ervaren pen
Berichten: 917
Lid geworden op: 28 mei 2005 01:40

Re: Getallen

Bericht door The Black Mathematician » 03 jun 2017 14:50

Irrationale getallen (let op: irrationaal, en niet irrationeel! Ik maak deze fout ook nog geregeld) zijn alle reële getallen die geen breuk vormen. Bijvoorbeeld de wortel van 2 of pi. Complexe getallen zijn getallen van de vorm a+bi, waarbij a en b reële getallen zijn. Imaginaire getallen zijn complexe getallen waarvoor a=0, dus getallen van de vorm bi.
Shut up Murdock, crazy fool!

Gebruikersavatar
TIBERIUS CLAUDIUS
Diehard
Berichten: 1363
Lid geworden op: 02 mei 2017 18:24
Locatie: CAPRI

Re: Getallen

Bericht door TIBERIUS CLAUDIUS » 03 jun 2017 15:00

The Black Mathematician schreef:Irrationale getallen (let op: irrationaal, en niet irrationeel! Ik maak deze fout ook nog geregeld) zijn alle reële getallen die geen breuk vormen. Bijvoorbeeld de wortel van 2 of pi. Complexe getallen zijn getallen van de vorm a+bi, waarbij a en b reële getallen zijn. Imaginaire getallen zijn complexe getallen waarvoor a=0, dus getallen van de vorm bi.
Klopt maar ik kan de verleiding niet weerstaan om het aan te vullen.
(zal wel beroeps deformatie zijn)

Vroeger noemden de huidige complexe getallen ook wel imaginair en die van de gedaante bi de zuiver-imaginaire getallen.
Het is goed om dat bedenken als men oude boeken gebruikt.

PS.
Er bestaan ook gehele imaginaire getallen de zogenaamde gehelen-getallen van Gauss.
Daarin is 2 geen priemgetal maar 3 wel.
En als er nu meer keizers zijn geweest dan maanden, wat dan, geachte senatoren?

Gebruikersavatar
The Black Mathematician
Ervaren pen
Berichten: 917
Lid geworden op: 28 mei 2005 01:40

Re: Getallen

Bericht door The Black Mathematician » 03 jun 2017 15:11

Geen idee wat de bedoeling van de OP is, maar de technische term voor wat hij beweert over breuken tussen twee irrationale getallen is dat de rationale getallen dicht liggen in de reële getallen: elk open interval (ongeacht hoe klein) dat een irrationaal getal bevat, bevat ook een rationaal getal.

De OP lijkt moeite te hebben met de bewering dat er meer irrationale getallen zijn dan rationale getallen. Deze bewering kan echter prima gemotiveerd worden en wel via twee manieren.

Ten eerste zijn er evenveel rationale als natuurlijke getallen (1,2,3,...), omdat je een zogeheten bijectie kan construeren tussen natuurlijke getallen en rationale getallen, oftewel een functie f van de natuurlijke getallen naar de rationale getallen zodat f(n)=f(m) impliceert n=m (oftewel f kent aan elk natuurlijk getal een uniek rationaal getal toe) en zodat voor elk rationaal getal q er een natuurlijk getal n is zodat f(n)=q. In andere woorden, f geeft een één op één correspondentie tussen natuurlijke getallen en rationale getallen en volgens verzamelingstheorie zijn er dan evenveel natuurlijke getallen als rationale getallen. Echter, Cantor heeft met een diagonaalbewijs aangetoond dat er geen bijectie tussen meer reële getallen dan natuurlijke getallen zijn, er bestaat dus niet zo'n bijectie voor natuurlijke getallen en reële getallen. Dit is alleen mogelijk als er meer irrationale getallen dan rationale getallen bestaan.

De tweede motivatie voor de bewering gebruikt een ander concept van "meer", namelijk maattheorie. Hier wordt abstract gedefinieerd wat de maat van een verzameling is. In het geval van reële getallen wordt de maat van intervallen als (a,b) of [a,b] of (a,b] of [a,b) in alle gevallen gedefinieerd als het getal b-a. Verder heb je rekenregels als de maat van twee verzamelingen A en B die niet overlappen is de maat van A + de maat van B. Er zijn nog wat meer regels, allemaal tot doel om zoveel mogelijk deelverzamelingen van de reële getallen te kunnen meten. Deelverzamelingen die we kunnen meten heten "meetbaar". Het blijkt dat de rationale getallen en de irrationale getallen allebei meetbare verzamelingen zijn. Echter de maat van de rationale getallen is 0. De maat van de irrationale getallen is oneindig. Dus kennelijk zijn er ook volgens maattheorie meer irrationale getallen dan breuken.
Shut up Murdock, crazy fool!

Gebruikersavatar
axxyanus
Moderator
Berichten: 6374
Lid geworden op: 08 nov 2008 21:23

Re: Getallen

Bericht door axxyanus » 03 jun 2017 19:37

The Black Mathematician schreef: De tweede motivatie voor de bewering gebruikt een ander concept van "meer", namelijk maattheorie. Hier wordt abstract gedefinieerd wat de maat van een verzameling is. In het geval van reële getallen wordt de maat van intervallen als (a,b) of [a,b] of (a,b] of [a,b) in alle gevallen gedefinieerd als het getal b-a. Verder heb je rekenregels als de maat van twee verzamelingen A en B die niet overlappen is de maat van A + de maat van B. Er zijn nog wat meer regels, allemaal tot doel om zoveel mogelijk deelverzamelingen van de reële getallen te kunnen meten. Deelverzamelingen die we kunnen meten heten "meetbaar". Het blijkt dat de rationale getallen en de irrationale getallen allebei meetbare verzamelingen zijn. Echter de maat van de rationale getallen is 0. De maat van de irrationale getallen is oneindig. Dus kennelijk zijn er ook volgens maattheorie meer irrationale getallen dan breuken.
Ik weet niet of deze benadering zo vruchtbaar is. Als ik mij goed herinner zijn er namelijk verzamelingen met de zelfde cardinaliteit als de reële getallen; die toch maat 0 hebben.

Een van die verzamelingen is de verzameling van getallen die als je ze neerschrijft in ternair talstelsel, geen cijfer 1 in hun notatie bevatten.
Al mijn hier gebrachte meningen, zijn voor herziening vatbaar.
Mijn Unitarian Jihad Naam: Sister Sabre of Patience; Haal de jouwe hier
De illusie het verleden te begrijpen, voedt de illusie dat de toekomst voorspelbaar en beheersbaar is -- naar Daniël Kahneman

Gebruikersavatar
The Black Mathematician
Ervaren pen
Berichten: 917
Lid geworden op: 28 mei 2005 01:40

Re: Getallen

Bericht door The Black Mathematician » 03 jun 2017 19:45

Wat bedoel je met vruchtbaar? De maat van een verzameling is een ander begrip dan cardinaliteit, dus natuurlijk kan het voorkomen dat beide begrippen in sommige situaties verschillende antwoorden geven. Punt is dat in geval van rationale getallen vs irrationale getallen het antwoord hetzelfde is: de irrationale getallen vormen een grotere verzameling.
Shut up Murdock, crazy fool!

Gebruikersavatar
Peter van Velzen
Moderator
Berichten: 14853
Lid geworden op: 02 mei 2010 10:51
Locatie: ampre muang trang thailand

Re: Getallen

Bericht door Peter van Velzen » 04 jun 2017 08:39

Getallen (2)
Omdat er in het Engels geen verschil is in de benaming, was het mij helemaal niet opgevallen dat men in het Nederlands twee verschillende woorden gebruikt voor "rational". Ik zal trachten in het vervolg van rationale getallen te spreken en niet van rationele. Je moet het voordeel dat je eigen taal biedt, nooit zomaar weggooien.

Waarom wordt het "diagonale bewijs" van Cantor diagonaal genoemd? Mijns inziens is dat omdat men denkt dat men een reeks getallen in gedachten heeft die evenveel regels bevat als elk getal cijfers bevat. DIt is de illusie, waarmee de illusionist ons fopt. Het aantal permutaties in een rij met n symbolen waarvoor geldt dat er slechts 10 verschillende symbolen voorkomen (dwz het aantal verschillende rijen van n symbolen dat men met 10 verschillende symbolen kan samenstellen) is 10 tot de macht n. Het aantal getallen dat je met n cijfers kunt vormen is derhalve véél groter dan het aantal cijfers in dat getal.

Wat Cantor in dit "bewijs" doet is het volgende.
Zonder het expliciet te zeggen veronderstelt hij dat als n naar oneindig gaat, 10 tot de macht n gelijk wordt aan n. Vervolgens bewijst hij dat dit niet waar is. Haal je de koekkoek dat het niet waar is! Het is niet waar voor elke eindige waarde van n, en er is geen enkele reden om te veronderstellen dat het plotseling wel waar is als je je verbeeldt dat je oneindig veel symbolen gebruikt.

Het probleem wordt veroorzaakt door de valse veronderstelling dat het aantal rationale getallen gelijk is aan het aantal natuurlijke getallen, (en zowel het aantal cijfers achter de komma als het aantal getallen in de reeks is normaliter een natuurlijk getal). Het is om te beginnen niet juist om te veronderstellen dat het aantal elementen in een oneindige rij een natuurlijk getal is. “Oneindig” is géén natuurlijk getal. Het is slechts de eigenschap dat er geen einde aan komt.

Verder is het een weinig zinvolle bewering dat er evenveel rationale getallen zouden zijn als natuurlijke getallen. een rationaal getal is een getal van de vorm n/m waarbij n een gehele getal is en m een natuurlijk getal (dus groter dan 0). De natuurlijke getallen zijn óók rationale getallen, en dus zijn er – in zekere zin – zelfs méér rationale getallen dan natuurlijke getallen. (het is bij een oneindige verzameling echter niet erg zinvol om van “meer” of van “minder” te spreken, maar evenmin van “evenveel”). De natuurlijke getallen zijn die rationale getallen waar n = 1. Er zijn echter ook getallen waar n = -1, vervolgens zijn er getallen waar n = 2, n=-2, n=3, n=-3 enzovoorts. Elk van deze deelverzamelingen van de rationale getallen is oneindig. (je kunt immers altijd m vervangen door m+1) en de reeks deelverzamelingen op zich is ook oneindig. (idem n+1 en óók n-1).

Het is echter mogelijk om alle rationale getallen in een specifieke volgorde te denken, en dan kun je in gedachten een volgnummer aan elk element hangen. Daarom meent men te kunnen stellen dat zo'n rij dezelfde "kardinaliteit" heeft als de natuurlijke getallen (waar dat volgnummer er immers altijd één van is). Wat daarvan de zin is ontgaat me, want het verandert niets aan wat ik in de vorige paragraaf beweerde.

Het is zelfs zo, dat ik in staat ben de reeks die Cantor gebruikt in zijn "diagonaal bewijs" óók in een specifieke volgorde te denken. En wel éérst alle getallen die vanaf het tweede getal achter de komma uitsluitend nullen bevatten (daarbinnen op volgorde van het eerste getal achter de komma), dán alle getallen die vanaf het derde getal achter de komma uitsluitend nullen bevatten, (daarbinnen op volgorde van het tweede getal achter de komma, en daarbinnen weer op volgorde van het eerste getal achter de komma), enzovoort. Veronderstellend dat die reeks nu in die volgorde staat ken ik vervolgens ook hier volgnummers toe. Als we het getal 0,0 weglaten zijn de volgnummers dan altijd het spiegelbeeld van de cijfers achter de komma (bijvoorbeeld 0,12568 is nummer 86.521)

Wiskundigen beweren echter domweg (zonder enige argumentatie) dat dit niet dezelfde verzameling is als de verzameling die Cantor bedoeld. Het is blijkbaar hun gewoonte om te beweren "dat is niet zo" en te denken dat ze daarmee hun gelijk hebben bewezen. Binnen hun tak van wiskunde kan dat overigens best waar zijn, als ze een axioma hanteren dat stelt dat het niet zo is, maar dat zeggen ze er natuurlijk niet bij. Voor wie een dergelijk axioma niet kent, is het gewoon een niet onderbouwde bewering.

Door het twijfelachtige begrip “kardinaliteit” te hanteren en dat te verwarren met het begrip “evenveel” kan Cantor ons doen geloven dat er “evenveel” rationale getallen zijn als dat er cijfers achter de komma kunnen voorkomen. Ondertussen laat hij ons ook geloven dat het “aantal” getallen dat men met “oneindig” veel decimalen kan vormen het “aantal” reële getallen is (tussen 0 en 1). Daarmee meent hij vervolgens ook te hebben bewezen dat er “meer” irrationale getallen zijn is dan rationale getallen, maar dat is iets te kort door de bocht, want ook de rationale getallen zijn reële getallen, en er ligt evenmin een beperking op het aantal cijfers van een rationaal decimaal getal. Dus als men zou kunnen aantonen dat er “meer” reële getallen zijn dan rationale getallen, dan is daarmee slechts aangetoond dat er ook nog irrationale getallen zijn (niet hoevéél). Maar dit terzijde, want 10 tot de macht n als n een natuurlijk getal is, méér dan twee keer zo groot als n. (voor niet al te kleine n is het zelfs meer dan n keer zo groot). Cantor vermijdt echter bewust of onbewust dit argument te hanteren, want dat zou wel eens kunnen verraden, welke truc hij toepast.

Het feit dat hij meent een getal meent te kunnen bedenken dat niet in de lijst staat berust namelijk enkel en alleen op het feit dat 10 tot de macht n groter is dan n (voor elk natuurlijk getal n), en dat 10 tot de macht n uiteraard niet gelijk wordt aan n, als n naar oneindig gaat. Het bewijs omzetten in binaire vorm verandert daar weinig aan want ook 2 tot de macht n is altijd groter dan n. (2 tot de macht 10n is ook altijd groter dan 10 tot de macht 3n), dus als n naar oneindig gaat is er geen practisch verschil). Ook voor elke eindige waarde van het aantal decimalen kan men de “diagonale”methode toepassen. Maar het feit dat 1 niet gelijk is aan 2 is, bewijst nog niet dat 0,2 niet in de lijst van getallen met één cijfer achter de komma staat. Waarom men dit ineens wél een bewijs acht, als men zich indenkt dat n naar oneindig gaat, ontgaat me totaal.
Ik wens u alle goeds

Gebruikersavatar
TIBERIUS CLAUDIUS
Diehard
Berichten: 1363
Lid geworden op: 02 mei 2017 18:24
Locatie: CAPRI

Re: Getallen

Bericht door TIBERIUS CLAUDIUS » 04 jun 2017 08:50

axxyanus schreef:Ik weet niet of deze benadering zo vruchtbaar is. Als ik mij goed herinner zijn er namelijk verzamelingen met de zelfde cardinaliteit als de reële getallen; die toch maat 0 hebben.

Een van die verzamelingen is de verzameling van getallen die als je ze neerschrijft in ternair talstelsel, geen cijfer 1 in hun notatie bevatten.
Dat klopt wel dacht ik.
Ook is het generaliseerbaar, bij mijn weten.

Maar het is ook waar dat de lebesgue-maat iets anders als de machtigheid van een verzameling.

Ook de dichtheid is weer een ander begrip om de verwarring nog wat groter te maken.

PS.
Het lijkt me trouwens inderdaad vruchteloos,
daar 'Peter van Velzen' Cantor naar de prullenbak verwijst
zal lebesgue wel het zelfde lot tegemoet kunnen zien.
En als er nu meer keizers zijn geweest dan maanden, wat dan, geachte senatoren?

Gebruikersavatar
Peter van Velzen
Moderator
Berichten: 14853
Lid geworden op: 02 mei 2010 10:51
Locatie: ampre muang trang thailand

Re: Getallen

Bericht door Peter van Velzen » 04 jun 2017 09:48

TIBERIUS CLAUDIUS schreef: Het lijkt me trouwens inderdaad vruchteloos,
daar 'Peter van Velzen' Cantor naar de prullenbak verwijst
zal lebesgue wel het zelfde lot tegemoet kunnen zien.
Ik heb even opgezocht wat een Lebesque-maat is. Op het eerste gezicht is het een uitbreiding van lengte, oppervlak en inhoud naar soortgelijke maten in meer dan 3 dimensies. Ik zie geen enkele reden waarom ik dat naar de prullenbak zou verwijzen. Ik verwijs trouwens niet Cantor naar de prullenbak, ik beschouw alleen zijn diagonaal bewijs als illusionair. De redenatie klopt wel, maar het bewijst - in mijn visie - niets over een verhouding tussen de hoeveelheid rationale en irrationale getallen. Het bewijst in mijn ogen slechts dan m tot de macht n altijd groter is dan n, als m en n beide natuurlijke getallen zijn en m>1, ook niet als n naar oneindig gaat. Maar dat geloofde ik toch al wel. Ik heb uiteraard ook mijn bedenkingen omtrent het begrip kardinaliteit. Ik heb getracht Cantors "eerste bewijs" te doorgronden omdat het best eens zou kunnen zijn dat dát bewijs wél overtuigend is. (en de conclusie dus - in mijn ogen - waar), maar ik snapte het niet helemaal. Ik vermoed dat er ook iets mee mis is, omdat ik niet heb begrepen waarom zijn redenatie aldaar, niet óók waar zou zijn voor de rationale getallen. Ik heb namelijk niet kunnen vinden waar hij in zijn verdeling van intervallen gebruik maakt van de irrationaalheid ervan, maar misschien heb ik iets over het hoofd gezien. Behalve op Wikipedia heb ik nooit ergens iets over dat "eerste bewijs" kunnen vinden. Waarschijnlijk omdat de diagonaal redenatie zo bedrieglijk eenvoudig lijkt, dat iedereen die prefereert.
Ik wens u alle goeds

Gebruikersavatar
The Black Mathematician
Ervaren pen
Berichten: 917
Lid geworden op: 28 mei 2005 01:40

Re: Getallen

Bericht door The Black Mathematician » 04 jun 2017 11:29

Peter van Velzen schreef:Getallen (2)
[...]
Wat Cantor in dit "bewijs" doet is het volgende.
Zonder het expliciet te zeggen veronderstelt hij dat als n naar oneindig gaat, 10 tot de macht n gelijk wordt aan n.
Er worden helemaal geen limieten in het diagonaalbewijs genomen. Expliciet gaat men uit van oneindige rijen.
Verder is het een weinig zinvolle bewering dat er evenveel rationale getallen zouden zijn als natuurlijke getallen. een rationaal getal is een getal van de vorm n/m waarbij n een gehele getal is en m een natuurlijk getal (dus groter dan 0). De natuurlijke getallen zijn óók rationale getallen, en dus zijn er – in zekere zin – zelfs méér rationale getallen dan natuurlijke getallen.
Echte deelverzamelingen kunnen inderdaad dezelfde kardinaliteit hebben.
Het is echter mogelijk om alle rationale getallen in een specifieke volgorde te denken, en dan kun je in gedachten een volgnummer aan elk element hangen. Daarom meent men te kunnen stellen dat zo'n rij dezelfde "kardinaliteit" heeft als de natuurlijke getallen (waar dat volgnummer er immers altijd één van is). Wat daarvan de zin is ontgaat me, want het verandert niets aan wat ik in de vorige paragraaf beweerde.
Dat is omdat kardinaliteit de enige zinvolle manier binnen verzamelingentheorie is om iets te kunnen zeggen over grootte van verzamelingen. Je kan niet altijd deelverzamelingen gebruiken, want soms wil je twee verzamelingen vergelijken die geen deelverzameling van elkaar zijn. Bijvoorbeeld een verzameling van 10 appels en een verzameling van 9 peren. De enige zinvolle manier om alsnog verzamelingen met elkaar te vergelijken is door middel van functies die de elementen van de ene verzameling aan elementen van de andere verzameling koppelen. Als dit op een bijectieve manier gebeurt, dan zeggen we dat de verzamelingen dezelfde kardinaliteit hebben, en omdat twee eindige verzamelingen alleen dezelfde kardinaliteit hebben als ze even groot zijn, als ze evenveel elementen hebben, is het voor de hand liggend om dan kardinaliteit te beschouwen als een maat voor de grootte van verzamelingen.
Het is zelfs zo, dat ik in staat ben de reeks die Cantor gebruikt in zijn "diagonaal bewijs" óók in een specifieke volgorde te denken. En wel éérst alle getallen die vanaf het tweede getal achter de komma uitsluitend nullen bevatten (daarbinnen op volgorde van het eerste getal achter de komma), dán alle getallen die vanaf het derde getal achter de komma uitsluitend nullen bevatten, (daarbinnen op volgorde van het tweede getal achter de komma, en daarbinnen weer op volgorde van het eerste getal achter de komma), enzovoort. Veronderstellend dat die reeks nu in die volgorde staat ken ik vervolgens ook hier volgnummers toe. Als we het getal 0,0 weglaten zijn de volgnummers dan altijd het spiegelbeeld van de cijfers achter de komma (bijvoorbeeld 0,12568 is nummer 86.521)
Echt geen idee wat je hiermee bedoelt.

Daarmee meent hij vervolgens ook te hebben bewezen dat er “meer” irrationale getallen zijn is dan rationale getallen, maar dat is iets te kort door de bocht, want ook de rationale getallen zijn reële getallen, en er ligt evenmin een beperking op het aantal cijfers van een rationaal decimaal getal.
Die is er wel. De decimalen van een rationaal getal bestaan altijd uit een eindige rij gevolgd door een andere eindige rij die zich blijft herhalen.
Bijvoorbeeld 3/8=0.375=0.375000000000
Eerste eindige rij is 375, tweede rij bestaat louter uit een 0 die zich blijft herhalen.
Ander voorbeeld: 3/7=0.42857142857. Eerste rij is leeg, tweede rij bestaat uit 428571, en dat blijft zich herhalen.

Verder begin ik me af te vragen wat de doelstelling van dit forum is als één van de administrators met enige regelmaat met grote stelligheid zijn pseudowetenschappelijke theorieën op dit forum plaatst. Maar misschien is dat iets voor een aparte discussie.
Shut up Murdock, crazy fool!

Gebruikersavatar
Peter van Velzen
Moderator
Berichten: 14853
Lid geworden op: 02 mei 2010 10:51
Locatie: ampre muang trang thailand

Re: Getallen

Bericht door Peter van Velzen » 04 jun 2017 13:13

The Black Mathematician schreef:
Peter van Velzen schreef:Getallen (2)
[...]
Wat Cantor in dit "bewijs" doet is het volgende.
Zonder het expliciet te zeggen veronderstelt hij dat als n naar oneindig gaat, 10 tot de macht n gelijk wordt aan n.
Er worden helemaal geen limieten in het diagonaalbewijs genomen. Expliciet gaat men uit van oneindige rijen.
Ik zeg toch "zonder het expliciet te zeggen!". Verondersteld wordt dat de rij even veel elementen kent als de getallen cijfers achter de komma. Dit is nooit zo voor een eindig aantal cijfers, als je alle mogelijke permutaties toestaat. Het is dus nauwelijks een verrassing, dat hij vervolgens kan bewijzen dat het ook niet waar is ingeval van een oneindig aantal cijfers.
The Black Mathematician schreef:
Als we het getal 0,0 weglaten zijn de volgnummers dan altijd het spiegelbeeld van de cijfers achter de komma (bijvoorbeeld 0,12568 is nummer 86.521)
Echt geen idee wat je hiermee bedoelt.
Ik heb het over de volgorde waarin ik de getallen met oneindig veel decimalen van Cantor in gedachten plaats: Die luidt: 0,1 t/m 0,9 dan 0,01 t/m 0,91, dan 0,02 t/m 0,92 enzovoort t/m 0,09 t/m 0,99 dan 0,001 t/m 0,091 enzovoort ad infinitum. Als je het recept kent dan ken je de hele reeks, ook al is hij oneindig.
The Black Mathematician schreef:
Daarmee meent hij vervolgens ook te hebben bewezen dat er “meer” irrationale getallen zijn is dan rationale getallen, maar dat is iets te kort door de bocht, want ook de rationale getallen zijn reële getallen, en er ligt evenmin een beperking op het aantal cijfers van een rationaal decimaal getal.
Die is er wel. De decimalen van een rationaal getal bestaan altijd uit een eindige rij gevolgd door een andere eindige rij die zich blijft herhalen.
Volgens Tiberius Claudius kun je er net zoveel achterliggende nullen aan toevoegen als je wilt. Ik kies voor een oneindig aantal achterliggende nullen. De herhalende decimalen zijn in feite ook niet eindig. Je kunt niet ergens ophouden met de herhalende reeks. Je kunt ze wel korter opschrijven, maar - alweer volgens Tiberius Claudius - De notatiewijze is niet zo belangrijk. Hoe dan ook, de totale reeks bevat alle reële getallen (tussen 0 en 1); zowel de rationale als de irrationale. Wat ik over het aantal cijfers zeg is eigenlijk irrelevant. Ik had het dan ook beter weg kunnen laten.
The Black Mathematician schreef: Verder begin ik me af te vragen wat de doelstelling van dit forum is als één van de administrators met enige regelmaat met grote stelligheid zijn pseudowetenschappelijke theorieën op dit forum plaatst. Maar misschien is dat iets voor een aparte discussie.
Dit is geen pseudo-wetenschappelijk artikel dit is wat gefilosofeer over getallen. Pseudo wetenschap pretendeert wetenschap te zijn. Dat pretendeer ik helemaal niet. Schiet mijn bedenksels gerust stuk, maar doe dat svp met sluitende argumenten. Niet met verkeerde voorstellingen van wat ik tracht te zeggen.

Ik beweer niet eens dat er niet meer irrationale getallen zijn dan rationale. Ik beweer slechts dat het in het licht van de oneindigheid der oneindigheden die ik in mijn openingsbericht constateer weinig zin heeft over “meer” of “minder” te spreken, Iemand reageerde met te beweren dat Cantors diagonale bewijs aantoonde dat er “meer” irrationale getallen zijn, maar dat het dat bewijst acht ik op zijn zachts gezegd dubieus. Mijns inziens berust dat op een illusie. Ik weet dat het onder wiskundige algemeen aanvaard wordt, maar ik heb geen idee waarom niemand de zwakte in het argument ziet, die ik terdege bespeur. Mogelijkerwijs is hetgene dat Cantor er mee trachtte te bewijzen desalniettemin waar, maar ik zie niet in wat het er toe doet. De hoeveelheid mogelijke rationale getallen is al onbegrijpelijk groot. Wat zou je met “nog méér” moeten?
Ik wens u alle goeds

Gebruikersavatar
The Black Mathematician
Ervaren pen
Berichten: 917
Lid geworden op: 28 mei 2005 01:40

Re: Getallen

Bericht door The Black Mathematician » 04 jun 2017 16:33

Dat wiskunde niet empirisch getoetst kan worden, betekent niet dat elke gedachte erover uitbraken "onschuldig gefilosofeer" is. De enige "filosofie" in je posts is dat je het verschil tussen verschillende vormen van oneindigheid niet begrijpt, en daarom het onbelangrijk acht. Ik moet zeggen dat ik het filosofische gehalte daarvan miniem vind. Je gaat vervolgens je "filosofie" onderbouwen met uitspraken die weinig met filosofie van doen hebben en alles met wiskunde, zoals dat er een gat in het diagonaalbewijs zit.

Ik heb ook soortgelijke discussies met je over natuurkunde gehad, die hetzelfde patroon vertonen: erg stellige uitspraken die vaak gewoon wetenschappelijk onjuist zijn. Je weet het allemaal wel en vertelt ons wel even hoe het nou zit. Dat is een heel andere houding dan dat je iets niet begrijpt en om uitleg vraagt.

Dit is allemaal prima hoor; ik heb ook helemaal niets tegen de morosofen op dit forum, en in principe vind ik dat iedereen alles moet kunnen zeggen zolang het niet racistisch etc. is. Maar jij bent wel administrator op een forum dat voor zover ik begrepen heb wetenschap hoog in het vaandel heeft. Dat schept verantwoordelijkheid. De leek die alles nog eens naleest kan daardoor denken dat je "filosofieën" echte wetenschap is, het wordt immers verkondigd door een administrator op dit specifieke forum.

Ik wil me verder niet met de doelstellingen van dit forum bemoeien en ik wil je ook niet de mond snoeren. Dit lijkt me wel iets om als crew over na te denken: hoe belangrijk is wetenschap? Is "vrij filosoferen" over wetenschap voor crewleden een probleem? En zo ja hoe kunnen hier het beste mee omgaan? In het laatste geval is er denk ik een simpele oplossing: verander de toon van je posts.
Laatst gewijzigd door The Black Mathematician op 04 jun 2017 17:05, 1 keer totaal gewijzigd.
Shut up Murdock, crazy fool!

Gebruikersavatar
The Black Mathematician
Ervaren pen
Berichten: 917
Lid geworden op: 28 mei 2005 01:40

Re: Getallen

Bericht door The Black Mathematician » 04 jun 2017 16:48

Om ook in te gaan op de rest van je post, allereerst de opmerking dat de reden dat men kardinaliteit gebruikt om de grootte van verzamelingen aan te geven is omdat het in geval van eindige verzamelingen overeenkomt met het aantal elementen van de verzameling. Daarom zegt men dat verzamelingen "even groot" zijn als ze dezelfde kardinaliteit hebben. "Even groot zijn" wordt dus als een synoniem voor "dezelfde kardinaliteit hebben" gebruikt. Als je moeite hebt met uitspraken dat twee (oneindige) verzamelingen "even groot zijn" is de oplossing simpel: lees gewoon "hebben dezelfde kardinaliteit" voor "even groot zijn."
Peter van Velzen schreef: Ik heb het over de volgorde waarin ik de getallen met oneindig veel decimalen van Cantor in gedachten plaats: Die luidt: 0,1 t/m 0,9 dan 0,01 t/m 0,91, dan 0,02 t/m 0,92 enzovoort t/m 0,09 t/m 0,99 dan 0,001 t/m 0,091 enzovoort ad infinitum. Als je het recept kent dan ken je de hele reeks, ook al is hij oneindig.
Okee. Je telt alleen niet alle reële getallen tussen 0 en 1 af. Niet eens alle breuken tussen 0 en 1, want bijvoorbeeld 1/3 zit hier niet in. Je kan hooguit getallen in deze lijst vinden die naar 1/3 convergeren (0.3, 0.33, 0.333, etc.), maar 1/3 zelf zit er niet in.
Shut up Murdock, crazy fool!

Gebruikersavatar
axxyanus
Moderator
Berichten: 6374
Lid geworden op: 08 nov 2008 21:23

Re: Getallen

Bericht door axxyanus » 04 jun 2017 18:22

Peter van Velzen schreef:Ik beweer niet eens dat er niet meer irrationale getallen zijn dan rationale. Ik beweer slechts dat het in het licht van de oneindigheid der oneindigheden die ik in mijn openingsbericht constateer weinig zin heeft over “meer” of “minder” te spreken, Iemand reageerde met te beweren dat Cantors diagonale bewijs aantoonde dat er “meer” irrationale getallen zijn, maar dat het dat bewijst acht ik op zijn zachts gezegd dubieus. Mijns inziens berust dat op een illusie. Ik weet dat het onder wiskundige algemeen aanvaard wordt, maar ik heb geen idee waarom niemand de zwakte in het argument ziet, die ik terdege bespeur.
Maar het bewijs van cantor is voor een specifiek geval. Er is een algemeen bewijs dat er geen bijectie kan bestaan tussen een verzameling en zijn machtsverzameling. m.a.w. voor elke verzameling A, bestaat er geen bijectie tussen A en P(A) en dus is P(A) groter dan A.

Stel namelijk dat er wel zo'n bijectie bestaat, dan bestaat er een functie f van A naar P(A), zodat f(A) = P(A).
We beschouwen nu de volgende verzameling B, deel van A alsvolgt: B = {e | e ∉ f(e)} m.a.w. e ∈ B ⇔ e ∉ f(e).
Omdat f(A) = P(A) bestaat er een b zodat f(b) = B.
Nu zijn er twee mogelijkheden b ∈ B of b ∉ B.
maar b ∈ B ⇒ b ∉ f(b) ⇒ b ∉ B, en dit geeft een tegenstrijdigheid.
maar b ∉ B ⇒ b ∈ f(b) ⇒ b ∈ B en dit geeft opnieuw een tegenstrijdigheid.
m.a.w. woorden vertrekkend van het feit dat er zo'n bijectie bestaat, komen we uit op een situatie die steeds tot een tegenstrijdigheid leidt. Uit het ongerijmde besluiten we dus dat er zo geen bijectie bestaat.

Er bestaan dus geen bijecties tussen een verzameling en zijn machtsverzameling. Dus ook niet tussen ℕ en P(ℕ). Er zijn dus verzamelingen die groter zijn dan ℕ

En met een beetje puzzelen kan je een bijectie vormen tussen P(ℕ) en ℝ en dan zo bewijzen dat ℝ groter is dan ℕ.
Al mijn hier gebrachte meningen, zijn voor herziening vatbaar.
Mijn Unitarian Jihad Naam: Sister Sabre of Patience; Haal de jouwe hier
De illusie het verleden te begrijpen, voedt de illusie dat de toekomst voorspelbaar en beheersbaar is -- naar Daniël Kahneman

Plaats reactie