Geplaatst: 16 feb 2009 23:50
Antwoord volgt; ik moet meer theorie bestuderen dan ik had verwacht. (En het Echte Leven eiste ook wat aandacht op...)
Over het verhaal van reductionisme kom ik later terug, ik heb nu mijn tijd en energie gestoken in het verhaal van de statistische mechanica. Mijn conclusie is ondubbelzinnig: Garfinkel weet gewoon niet waar hij het over heeft. Hij heeft de klok ergens ver horen luiden en probeert nu de precies vorm van de klepel af te leiden. Het bevestigt mijn vermoedens dat Garfinkel een probleem zou hebben geconstateerd dat alle experts die zich hun hele leven lang met statistische mechanica bemoeid zouden hebben, over het hoofd hadden gezien.
Het uitleggen is niet eenvoudig en ik weet eigenlijk niet of ik het zelfs wel moet proberen. Zelfs op het relatief niet al te moeilijke niveau waar ik me heb bijgelezen---ik heb er nog hoofdpijn van---is dit geen materie die je op de achterkant van een bierviltje kunt uitleggen, zeker niet als er ook nog her en der vereenvoudigingen moeten worden aangebracht. Maar ik doe een poging.
Allereerst vind ik Nagels gebruik van het woord 'moleculen' een beetje vervelend. Beter zou 'staten' zijn, zodat het syteem netjes geabstraheerd werd. Bovendien vermijd het verwarring waar Garfinkel volgens mij erg veel last van heeft. Ten tweede is Nagel crimineel onduidelijk in zijn formulering, maar daar kom ik nog op terug. (Overigens, Nagels citaat komt uit 1961---niet echt modern. Daarmee bedoel ik dat de manier waarop het onderwerp wordt gedoceerd wellicht is veranderd en verbeterd, ook daar worden telkens nieuwe inzichten opgedaan.)
Eerst zegt Nagel dat alle staten van het systeem even waarschijnlijk zijn. Daarna voert hij voert een constraint in---namelijk dat de totale energie van het systeem constant is---waaraan de beschrijving van de losse staten dient te voldoen. Jahowachteven, zegt Garfinkel dan, als alle staten even waarschijnlijk moeten zijn, bijt dat de aanname van de constante energie, omdat die staten niet onafhankelijk van elkaar kunnen worden gekozen om tot die energie te komen. Fuck, denkt de argeloze lezer nu, daar heeft die vent een punt, eigenschappen worden er van te voren ingestopt om zo het geheel in de juiste banen te dwingen!
Eerst even wat technische achtergrond. De 'staten' waar Nagel het (onjuist) over heeft zijn microstaten van moleculen (Ziedaar waarom het zo crimineel onhandig is waarom hij over 'moleculen' praat!) Een molecuul heeft een bepaalde snelheid, impuls en beschikt over een bepaalde hoeveelheid eigen interne energie die tot uitdrukking komt in een quantummechanische 'staat': het trilt, draait en tolt op bepaalde streng begrensde manieren. Energie is in deze context daarentegen een macrostaat, een som van ontelbaar veel microstaatjes. In de praktijk kun je die energie echter niet meten en gebruik je de veel handiger grootheid temperatuur die je via-via in elkaar kunt omrekenen. Maar stel even dat we een apparaat hebben dat ons deus ex machina de energie van een systeem kan vertellen.
Omdat er zo onstellend veel microstaten zijn in een normaal macroscopisch systeem, is het redelijk om aan te nemen dat als we een systeem in termen van energie, volume en massa specificeren en isoleren, er een hoop microstaten zullen zijn die samen aanleiding zullen geven tot de gespecificeerde macrostaat. Het apriori-postulaat zegt nu dat elk ensemble van microstaten met de gespecificeerde macrostaat als optelsom even waarschijnlijk is. Het is dus een uitspraak over het gemiddelde van een enorme berg moleculaire microstaatjes, of, beter gezegd, het gemiddelde van ontelbaar veel afzonderlijke bergen microstaatjes. Het postulaat is in strikt mathematische zin niet af te leiden (nog niet afgeleid is een betere beschrijving), maar is wel op diverse manieren aannemelijk gemaakt: middels de ergodenhypothese, het theorema van Liouville, H-theorie, en nog een paar. Het is een postulaat dat geldig is bij systemen in evenwicht; niet-evenwichtssystemen zijn afschuwelijk moeilijke dingen om te beschrijven.
Het apriori-postulaat zegt hoegenaamd niets over de manier waarop zo'n microstaat is opgebouwd, het zegt alleen iets over het gemiddelde. Nagels voorwaarde dat de energie constant blijft---die in dit opzicht een heel natuurlijke voorwaarde is---zorgt er dus uitsluitend voor dat we het over één en hetzelfde systeem hebben, namelijk met bekende en vaste macroscopische parameters. Wat doet Garfinkel nu: die legt, aangespoord door Nagels crimineel onduidelijke woordkeus, het apriori-postulaat op aan moleculen afzonderlijk, oftewel de microstaten van het geheel. Die zouden allen even waarschijnlijk moeten zijn... En daarmee geeft hij aan dat hij absoluut niet snapt waar hij mee bezig is: verwarring van macro- en microstaat en hun eigenschappen is dodelijk in deze context. Een expert in deze materie had deze fouten gewoon nooit gemaakt.
Garfinkels vervolgopmerking dat dan de normaalverdeling van de snelheden ook niet uit Nagels aannames volgt, moet je in datzelfde licht zien. Vanzelfsprekend heeft Garfinkel gelijk als hij beweert dat snelheden van moleculen niet onafhankelijk zijn als je een totale energie E specificeert. Maar dit is zeker niet het product van een aanname vooraf! Daarvoor moet je eerst de kans uitrekenen wat, gegeven één bepaald ensemble van microstaten met een bepaalde opgelegde totale energie, de kans is dat een zeer klein gedeelte microstaten zich in een bepaald energieniveau bevindt dat afwijkt van het gemiddelde. (Strikt genomen zeg ik het verkeerd omdat als zo'n gedeelte een wat hogere energie heeft, vereist de wet van behoud van energie dat de rest een wat lagere energie heeft. Dit is wat je in je formules stopt.) Als je dat doet, kom je op de Boltzmann-verdeling uit die aantoont dat lokaal grote afwijkingen van het gemiddelde kunnen bestaan. Maar totaal middelen die allemaal keurig uit tot een macroscopisch constante energie! En dan is de stap naar een snelheidsverdeling natuurlijk een kleine, alhoewel je nog best een beetje moet knutselen met de wiskunde om het resultaat eruit te peuteren.
De vraag is dus nu in hoeverre Garfinkel, indien hij zou worden gewezen op deze eigenlijk beschamende blunders, zijn vervolgzin
zou herformuleren. Er worden geen 'strong assumptions' opgelegd, zeker niet in het ideale geval. Misschien wel in niet-ideale gevallen (zie onder), maar die worden nu niet beschouwd. Hij kan redelijkerwijs alleen maar ageren tegen het ergodische principe op basis waarvan de macrostaat aan het ensemble van microstaten wordt gekoppeld, maar daar bestaan écht redelijke overwegingen voor, zelfs al maak je het geheel erg technisch en ga je tot in detail kijken hoe lang het duurt voor je redelijkerwijs kunt spreken van een systeem in evenwicht. Alle andere zijn zeer minimalistische en volkomen begrijpelijke aannames, vereenvoudigingen en idealiserende overwegingen die eigenlijk alleen maar de kleine details van het geheel veranderen, en niet de grote lijnen. Je kunt ze naar believen veranderen om het systeem interessanter te maken---dit is vanzelfsprekend de eenvoudige basis vanuit waar je verder kunt.[...] We must make, in addition, strong assumptions about the collective possibilities of the system, assumptions which are imposed on the individual nature and do not in any sense follow from it. Their effect is exactly like the effect of the kinematical conditions discussed earlier: to restrict sharply the a priori possibilities of the system. ...
Nóg mooier wordt het als Garfinkel dan denkt de coup-de-grâce te kunnen uitdelen met het citaat van Khinchin in zijn hand (waarvoor mijn hartelijke dank dat je het even op wilde sturen). Khinchin zegt heel duidelijk dat een systeem van échte individuele deeltjes niet mogelijk is omdat ze door hun échte individualiteit niet kunnen 'voelen' dat er nog andere staten om hen heen zijn. Er moeten in het systeem dus ook krachten aan het werk zijn die die interacties beschrijven. Toen ik dat las zei ik met nadruk precies!---want dat is ook precies wat er aan de hand is. Maar wat doet Garfinkel nu? Die concludeert dat de 'onafhankelijke moleculen' van Nagel dus niet écht onafhankelijk zijn en zijn stelsel van aannames dus tegenstrijdig is. Maar alhoewel Nagel slordig is in zijn formulering, zal elke beschrijving in het simpelste geval die claim nooit maken! Sterker nog, in de nette afleidingen die ik heb kunnen vinden, worden die interacties niet eens met naam en toenaam genoemd---er is alleen een verborgen en verder voor de simpelste gevallen niet noodzakelijk te beschrijven mechanisme actief dat een microstaat in staat stelt om van de ene in de andere te veranderen, en verder met een kanswaarde wordt beschreven. Juist door die oorsprong te (h)erkennen kan je statistische mechanica bedrijven op systemen waar de interacties wel eens heel anders zouden kunnen zijn. Garfinkel wijst bijvoorbeeld op het niet meer geldig zijn van de wet van Boyle als je de druk opvoert---maar vergeet dat die wet voor een ideaal gas---de simpelste vorm van statistische mechanica---altijd opgaat, onafhankelijk van de druk. Niet-ideale gassen, waar de interactie uit méér dan alleen maar volkomen elastische botsingen bestaat, wijken af, maar dan moet je die eigenschappen natuurlijk wel in je molecuulmodel (oftewel de manier waarop microstaten op elkaar inwerken) stoppen...
Samenvattend: wat betreft de reductie van thermodynamica tot statistische mechanica kan Garfinkels huidige argument grotendeels de prullenbak in. Als hij bezwaar wil aantekenen tegen de reductie van thermodynamica tot statistische mechanica, zal hij dat op hele andere aspecten moeten gooien die vele malen minder doorzichtig zijn dan hij heeft neergepend, en omgekeerd veel meer bekendheid met de fundamenten van de materie vereisen. Hij heeft dat overduidelijk niet gedaan omdat hij dacht hiermee klaar te zijn. Ik ga die dus ook niet meer uitzoeken; dan moet ik écht college volgen van een expert in de materie en er navenant diep op ingaan. Echter, die aspecten zijn, van wat ik ervan heb begrepen, veel meer gebaseerd op epistemologie en ervaring dan op strikte wiskunde. De vraag is dan of de wetenschap altijd alles strikt moet afleiden. Ik vind van niet: dat kan ze namelijk niet.
Als je goed in je wis- en natuurkunde zit, raad ik je het boek Physical Chemistry van P.W. Atkins aan, die op een eenvoudige wijze deze toch vrij pittige materie behandelt (plus nog een zee aan andere fysisch-chemische system). Ik heb de vierde editie twintig jaar geleden gekocht en heb er nóg plezier van. Online kun je deze cursus nalezen die mij uiteindelijk het inzicht gaf waar Garfinkel de mist inging (en Nagel eigenlijk ook). Ook deze handout is misschien nog een beetje informatief, met name als het gaat om de houdbaarheid van de ergodenhypothese.
