Wat is een dimensie?

[Peter van Velzen]

Tiberius Claudius had in het onderwerp “tijden van toenemende entropie” terecht kritiek op een zin van mij. Zoals gebruikelijk zei hij er – in eerste instantie - niet meer over dan dat het “fouten” bevatte, maar ik ben uiteraard best in staat om sommige van die fouten, zelf te vinden zonder dat iemand mij precies moet uitleggen wat de fout precies is. Ik schreef – onder andere – dat ruimte drie dimensies geeft en “dus” zes richtingen. Dat is helemaal niet zo, maar het is een fout die vaker gemaakt wordt, en dat noopte mij er toe om nog eens goed te overdenken wat een dimensie eigenlijk is.

Een dimensie kan waarschijnlijk het beste begrepen worden als “een meetbare eigenschap”. Wij kennen – zonder er veel over na te denken allerlei eigenschappen toe aan allerlei zaken, en doorgaans kan iets die eigenschap – in onze beleving in meer of mindere mate hebben. A kan groter zijn dan B, of heter, of luider, of mooier, of zwaarder of donkerder. Omgekeerd is B dan kleiner A, of kouder, of zachter, of lelijker, of lichter qua gewicht, of lichter qua licht. Sommige zaken zijn gemakkelijk te meten, andere niet of nauwelijks.

Wat het makkelijkst te meten is, is minder of meer. Dat wil zeggen. Als de twee teven die rond ons huis lopen ieder een nestje hebben, dan kunnen we meer zeggen dan alleen dat de ene hond meer puppies heeft geworpen dan de andere, we kunnen zelfs een absolute waarde aan die (hoe)veelheid toekennen. IIII voor de ene hond en IIIIIII voor de andere. We kunnen ook dat grootste aantal vergelijken met het aantal vingers dat we aan één hand hebben, hetgeen voor de meeste mensen betekent dat dat aantal II groter is dan de IIIII vingers die we hebben, en om die reden in plaats van IIIIIIII VII schrijven. Tegenwoordig gebruiken we de schrijfwijze 4 en 7 voor het aantal puppies en 5 voor het aantal vingers dat de meeste mensen aan één hand hebben. Maar hoe noemen wij het verschil tussen het kleine nestje en het grotere? 3 is niet genoeg als je niet weet welk nestje er meer bevat en je zegt dus: De grijze hond heeft er 3 méér of de zwartwitte hond heeft er 3 minder. Dat kun je tegenwoordig ook aanduiden met +3 en -3. De dimensie heeft dus twee richtingen: Groter en kleiner. Uiteraard wordt het moeilijker bij grote aantallen, voornamelijk omdat we moeten onthouden wat we al wel geteld hebben en wat nog niet. Als er 101 Dalmatiërs door elkaar heen lopen is dat best moeilijk.

Ook afstand kunnen we meten, maar daarbij hebben we een ander probleem dan bij hoeveelheid. De hoeken van onze omheining lopen weliswaar niet weg, maar om de afstand ertussen te kunnen tellen, hebben we een eenheid nodig, bijvoorbeeld een grote stap. Erg precies is dat niet, een meetlat van een meter lang er meermaals langs leggen, is een beter plan, maar die heb ik toevallig niet in huis. Er blijken dertig grote stappen tussen twee hoeken te zijn, als die aan eenzelfde kant liggen. Wederom kunnen we twee kanten op: Van de ene hoek naar de andere, of van de andere hoek naar de ene. Als we de afstand meten tussen twee hoeken die schuin tegenover elkaar liggen (dat valt eigenlijk niet af te stappen, want het huis staat in de weg, maar stel dat het kon) dan zouden we waarschijnlijk tot 42 of 43 stappen komen.

Maar hoe groot is ons stukje grond dan eigenlijk? Daartoe gebruiken we twee richtingen die niet dezelfde noch elkaars tegendeel zijn: bijvoorbeeld die tussen de zuidoostelijke hoek en de zuiwestelijke hoek en die tussen de zuidwestelijke hoek en de noordwestelijke hoek en zeggen dat de groote 30 x 30 = 900 grote passen in het vierkant is. We hebben dus twee afstandimensies gebruikt om het oppervlak te bepalen. Dat wil echter niet zeggen dat er op ons stukje grond maar vier richtingen zijn. We hebben er maar twee nodig gehad om tot het oppervlak te komen. En er zijn – toevallig - vier hoeken, maar het aantal richtingen waarin ik kan lopen is welhaast oneindig. Ik kan immers op talloze manieren schuin over ons stukje grond lopen!

Om te bepalen hoe groot een ding is, kunnen we soms dezelfde methode gebruiken. Zolang – bijvoorbeeld een blok hout - allemaal rechte hoeken heeft kunnen we de afstand tussen boven en beneden, vermenigvuldigen met de afstand tussen voor en achter en dat resultaat weer met de afstand tussen links en rechts. In de voorgaande zin heb ik 6 richtingen genoemd, en daar zat mijn fout. In feite gebruikte ik er slechts drie (bijvoorbeeld die van boven náár beneden, die van voor náár achter en die van links náár rechts). En er zijn er wederom schier oneindig veel, die een houtwurm binnen het gemeten blok zou kunnen volgen.

Nu zijn drie dimensies best geschikt om het oppervlak, dan wel de inhoud te meten van iets met rechte hoeken, maar waar we ze nog beter voor kunnen gebruiken is om een plaats in de ruimte te kunnen bepalen, ten opzichte van een ander punt. Omdat de richting binnen elke dimensie dan van belang is, gebruiken we daarbij een minteken voor de tegengestelde richting. Elk punt wordt dan aangeduid met drie getallen die nu echter ook negatief kunnen zijn. In zekere zin spelen nu dus zes specifieke richtingen een rol. Maar die zijn in zekere zin willekeurig. Of ik boven een plusteken wil geven of beneden, is van ondergeschikt belang. Ik hoef zelfs geen richtingen te gebruiken die haaks op elkaar staan, Zolang er geen twee hetzelfde of elkaars tegendeel zijn, en zolang er maar geen drie in hetzelfde vlak liggen, volstaan elke drie richtingen om elk punt in de ruimte van een uniek trio getallen te voorzien.

Dat is dus wat het áántal dimensies is: het aantal getallen wat we nodig hebben om een uniek punt te beschrijven. In de ruimte zijn dat er drie. In de tijd één, en op mijn beeldscherm twee. Die hoeven helemaal niet op rechte lijnen te liggen. Ik kan een punt op mijn beeldscherm ook beschrijven met één getal (van 0 tot 360) dat de richting aangeeft in graden van de gradenboog ten opzichte van “de oorsprong” (bijvoorbeeld het midden van het scherm) en dan de afstand die je in die richting moet afleggen. Maar ik heb wel altijd twee getallen nodig. Denk bijvoorbeeld ook aan Lengte en Breedtegraden, Daarbij liggen beide getallen op een cirkel, maar twee getallen zijn wederom noodzakelijk om een plek op aarde aan te geven.

Als we wél alleen met rechte lijnen werken, hebben we om een richting aan te geven overigens evenveel getallen nodig als voor een punt, alleen is dan de absolute waarde van elk getal niet van belang, maar alleen hun verhouding. Met gradenbogen hebben we in wezen de richting in twee dimensies tegelijk te pakken. Wel iets bijzonders dus!

[Petra]

pffffffewwwww weer zoveel gehersenkraak, ik word er bekaf van.
Ik reageer alleen maar om het in mijn lijstje posts te krijgen zodat ik het later makkelijker kan terugvinden.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Er staat zoveel wat niet waar is dat ik nauwelijks weet waar te beginnen.

Om te beginnen wordt er een (verkeerde) relatie gelegd tussen coördinaten en het aantal dimensies.

Dit is een dubbele fout want er zijn synthetische meetkunden. (die zijn coördinaten vrij)
Dimensies zijn geen dingen die aanwijsbaar zijn in de ruimte, wel is het een veel gemaakte en wijd verbreide fout.

Het is wiskundig een onjuiste uitspraak om te zeggen:
deze ruimte heeft drie dimensies,

de juiste uitspraak is:
Deze ruimte is drie dimensionaal.

Drie is dan het dimensie getal van de ruimte en geeft een eigenschap er van weer.

PS.
Helaas wordt vaak in knullige boekjes de assen van een coördinaten systeem voorgesteld als dimensies.
Lastig vol te houden bij niet Cartesische coördinaten systemen.

[Peter van Velzen]

Er staat zoveel wat niet waar is dat ik nauwelijks weet waar te beginnen.

Om te beginnen wordt er een (verkeerde) relatie gelegd tussen coördinaten en het aantal dimensies.
eetje)

Ik probeer het simpel te houden zodat er iemand is die het begrijpt (en ikzelf ook nog een beetje). Van synthetische meetkunde had ik nog niet eens gehoord. Gaan we opzoeken.

Waar begint het volgens jou fout te gaan? bij onze omheining? of zit ik er al bij de puppies naast?

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Er staat zoveel wat niet waar is dat ik nauwelijks weet waar te beginnen.

Om te beginnen wordt er een (verkeerde) relatie gelegd tussen coördinaten en het aantal dimensies.
eetje)

Ik probeer het simpel te houden zodat er iemand is die het begrijpt (en ikzelf ook nog een beetje). Van synthetische meetkunde had ik nog niet eens gehoord. Gaan we opzoeken.

Waar begint het volgens jou fout te gaan? bij onze omheining? of zit ik er al bij de puppies naast?

Het gaat fout doordat je je onvoldoende in de stof hebt ingewerkt.
Zoals ik al eerder schreef: een ieder moet bij het begin beginnen en de hele weg aflopen.

Jij denkt dat dat voor jou niet nodig is, vandaar een heel verhaal wat gebaseerd is op een verkeerd beeld over het begrip dimensie.
Dat je niet weet wat synthetische meetkunde is is hier voor illustratief.

Bedenk deze uitspraak:
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

[Peter van Velzen]

Synthetische meetkunde bleek niet zoiets ingewikkelds te zijn, Euclidisch meetkunde schijnt er ook onder te vallen, Je hebt er axioma''s voor nodig. Maar ik zal het proberen zonder. Je begint net als bij onze omheining met iets dat je kunt doorlopen in twee richtingen, alleen meten we nu niet, we passen (dat wil zeggen gebruiken passer en lineaal zonder afstands-streepjes). Een lijn langs de lineaal, dan heb je één dimensie. Denk je die lijn in alsof hij zich eindeloos uitstrekt in alle richtingen. (doe dat bij elke volgende ijn ook). Voeg een lijn toe die de eerste op één punt kruist, dan heb je een tweede dimensie. Als je nu verbeeld dat je door alle punten van de oude lijn lijnen trekt die paralel zijn aan de nieuwe, heb je (in gedachten) elk punt in dat vlak door zo'n lijn geraakt. Maar als je een lijn wilt trekken, die maar één punt met je nu ontstane 2-dimensionale ruimte gemeen heeft heb je dus een derde dimensie nodig, dan moet je (bijvoorbeeld) boven of onder het papier zijn. Het valt niet te tekenen, maar door je lineaal schuin langs je bureaublad te houden, zodat een deel er onder is en een deel erboven, kun je het je wel voor ogen krijgen. Ook de punten in deze ruimte kun je vullen door door elk punt uit je eerdere ruimte (een vlak is ook een ruimte - zij het 2-dimenionaal) een lijn te trekken parealel aan de eerste nieuwe lijn die er maar een punt gemeen mee had. Wil je vier dimensies, dan moet je weer een lijn toevoegen die maar één punt met de 3-dimensionale ruimte gemeen heeft, en bereik je elk punt in dié ruimte door wederom door alle punten uit de vorige ruimte lijnen te trekken die dáár paralel mee zijn. (kun je niet echt uitbeelden, maar in je verbeelding kan het misschien nog net).

@Petra
Is dit makkelijker of moeilijker? Het is in elk geval korter, omdat ik nu geen getalletjes kan invoegen

[Peter van Velzen]

Bedenk deze uitspraak:
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Ik probeerde geen koninklijke weg maar die van het boerenerf. Mag van jou ook al niet.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Bedenk deze uitspraak:
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Ik probeerde geen koninklijke weg maar die van het boerenerf. Mag van jou ook al niet.

Daar zak je in de blubber, zoals je bovenstaande verhaal aangeeft.

Het gaat daar snel fout, vermoedelijk omdat je de middelbare schoolwiskunde niet beheerst,
zo bestaan er in het Euclidische vlak geen kruisende lijnen.
Je zult je er wel mee af maken dat het een slordigheid is, maar het zit dieper.

Je geeft ook geen definitie van het begrip dimensie maar je bouwt een zwak systeem op.
Wel dat heeft Euclides zo'n dikke 2000jaar geleden al gedaan.

[Dat beloof ik]

Zeg Tiberius Claudius,

Is stel voor dat je je even concentreert op een constructieve discussie, in plaats van denigrerende opmerkingen te plaatsen als

Er staat zoveel wat niet waar is dat ik nauwelijks weet waar te beginnen.
....
Het gaat fout doordat je je onvoldoende in de stof hebt ingewerkt
...
een ieder moet bij het begin beginnen en de hele weg aflopen. Jij denkt dat dat voor jou niet nodig is
...
Daar zak je in de blubber, zoals je bovenstaande verhaal aangeeft.
Het gaat daar snel fout, vermoedelijk omdat je de middelbare schoolwiskunde niet beheerst
...
Je zult je er wel mee af maken dat het een slordigheid is, maar het zit dieper

Dat gezegd hebbende.
Volgens mij doet Peter een vrij goede poging om de drie ruimtelijke dimensies uit te leggen.
Vervolgens lees ik ergens tussen jouw denigrerende opmerkingen dat dit niet werkt bij een niet-Carthesische coördinatensystemen.
Dat kan zo zijn, maar om onze 3 dimensionale wereld weer te geven, werken we nu eenmaal wel met het Carthesisch coördinatensysteem.

M.a.w: als je een kamer groen wil verven gebruik je daarbij groene verf. De stelling dat niet alle verf groen is, is hartstikke waar, maar doet totaal niet ter zake.
Uiteraard bestaat er synthetische meetkunde, maar in deze discussie gaat het alleen over algebraïsche meetkunde. Laten we het daarbij houden en geen zaken er bij halen die er totaal niet toe doen.

@Peter
Volgens mij zou het goed zijn om ruimtelijke dimensie gescheiden te zien van fysieke eigenschappen. Temperatuur, kleur, hardheid e.d. zijn fysieke eigenschappen.
Taalkundig gezien zou je ze onder 'dimensie' kunnen begrijpen, maar aangezien dimensie in het taalgebruik eerder wordt geassocieerd met 'ruimtelijk' kan er makkelijk spraakverwarring ontstaan.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Vervolgens lees ik ergens tussen jouw denigrerende opmerkingen dat dit niet werkt bij een niet-Carthesische coördinatensystemen.
Dat kan zo zijn, maar om onze 3 dimensionale wereld weer te geven, werken we nu eenmaal wel met het Carthesisch coördinatensysteem.

Dat is gewoon onzin, het werken met pool en bolcoördinaten is algemeen gebruik in de wis en natuurkunde.

Uiteraard bestaat er synthetische meetkunde, maar in deze discussie gaat het alleen over algebraïsche meetkunde. Laten we het daarbij houden en geen zaken er bij halen die er totaal niet toe doen.

De discussie gaat over dimensie in het algemeen dat is heel wat anders dan algebraïsche meetkunde een term die niet eens bestaat bij mijn weten.

Vroeger werd er trouwens meestal eerst synthetische meetkunde op de middelbare school gegeven, maar dat is na de invoering van de Mamoet-wet veranderd. Echt blij ben ik daar niet mee, het gaf meer inzicht in de meetkunde dan zoals het nu gebeurd.

[Dat beloof ik]

dat is heel wat anders dan algebraïsche meetkunde een term die niet eens bestaat bij mijn weten.

Dan weet ik niet in wat voor wereld jij zit op dit moment, maar concludeer ik dat een normale discussie hier met jou niet mogelijk is.

Algebraïsche meetkunde:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Algebra%C ... _meetkunde

[TIBERIUS CLAUDIUS]

dat is heel wat anders dan algebraïsche meetkunde een term die niet eens bestaat bij mijn weten.

Dan weet ik niet in wat voor wereld jij zit op dit moment, maar concludeer ik dat een normale discussie hier met jou niet mogelijk is.

Algebraïsche meetkunde:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Algebra%C ... _meetkunde

Leuk gegooled.

Maar die tak van sport heeft niets met dit onderwerp uitstaande en gaat dus over een heel ander vakgebied.
Maar als je een discussie wilt over dat onderwerp dan kun je er natuurlijk een topic over openen.

[Peter van Velzen]

zo bestaan er in het Euclidische vlak geen kruisende lijnen.

Er bestaan geen kruisende lijnen?
O ik begrijp het al. Wat een gewoon mens een kruisende lijn noemt is bij Euclides een snijdende lijn. Een kruisende lijn is binnen de Euclidische wiskunde een lijn die niet in eenzelfde vlak ligt, en derhalve geen enkel punt met de andere gemeen heeft. Ik sprak gewone mensentaal. Daarin komen kruispunten voor, maar jij zou (wiskundig) slechts van een weg spreken die een andere weg kruist als er sprake was van een viaduct of een tunnel, en géén kruispunt.

Overigens sprak ik niet over een "kruisende lijn" maar over een lijn die een andere lijn op EEN PUNT kruist. Je kon dus donders goed weten dat wat ik bedoelde te zeggen wel degelijk klopte.

Wat eigenlijk erger is. is dat mijn uitleg niet klopt op (bijvoorbeeld) het oppervlak van een bol. Daar hebben lijnen die daar het equivalent zijn van snijdende lijnen bij Euclides altijd twéé punten gemeen. Ook ontgaat me hoe ik daar een derde dimensie bij kan denken. Tenzij ik alle lijnen toevoeg die door het centrum van de bol gaan en het oppervlak op twee punten snijden, maar dan keer ik terug naar een euclidische ruimte.

[Petra]

@Petra
Is dit makkelijker of moeilijker? Het is in elk geval korter, omdat ik nu geen getalletjes kan invoegen

Hoe minder getallen hoe beter..
Vraag me af wat het verband is tussen dimensies en domeinen.
Als ik dimensies goed begrijp zijn dat coördinaten die een plek aanduiden.

Jij lijkt het meer over domeinen te hebben. En ik zie Dat beloof ik ook in die richting gaan, met het willen scheiden van fysieke eigenschappen. Terwijl het volgens mij nu JUIST die fysieke eigenschappen zijn waarmee we de ruimte (die immers fysiek is) kunnen coördineren.

Maar enfin, al die verhalen dwarrelen nu duizelend als geheel door me heen en ik probeer uit alle macht om alles o.e.a. manier af te bakenen of op een vaste plek te zetten of in een begrijpelijke hoek te duwen.


Ik ben druk lezende in Hawking (een korte geschiedenis van de tijd) en heb het gevoel dat het onderstaande met jouw topic te maken heeft, maar ben al dagen aan het proberen om te begrijpen wat die gebogen ruimte nou precies allemaal inhoudt, dus kan er (nog!, zei ze hoopvol ) weinig zinnigs aan toevoegen.
Ik heb het al tig keer opnieuw gelezen maar heb het nog steeds niet te pakken. (Wat die aanwezige materie uitmaakt ) Het schiet dus lekker op.



Relativiteit (H5)
Ruimtelijke coördinaten.
Wanneer we zeggen dat de ruimte drie dimensies heeft, bedoelen we daarmee dat we een bepaald punt kunnen aanduiden met drie getallen, of coördinaten. Als we de tijd aan onze beschrijving toevoegen, wordt de ruimte uitgebreid tot een vierdimensionale ruimtetijd.
Het is mogelijk om het gehele heelal te beschrijven in de vorm van elkaar overlappende gebieden. Voor elk gebied kunnen we een ander stel van drie coordinaten gebruiken om de positie van een punt te duiden.

Enfin; ik zit nu in Hawking bij de gebogen ruimte.

- Lichamen bewegen zich op aarde langs een geodetische lijn.
- In de wereld van de algemene relativiteit volgen lichamen altijd geodetische lijnen in de vierdimensionale ruimtetijd. Bij afwezigheid van materie komen deze rechte lijnen in de vierdimensionale ruimtetijd overeen met rechte lijnen in de driedimensionale ruimte. Als er wel materie aanwezig is, wordt de vierdimensionale ruimtetijd vertekend, en daardoor zullen de wegen die lichamen in de driedimensionale ruimte afleggen gebogen zijn (op een wijze die in de vroegere theorie van Newton werd verklaard als een gevolg van de aantrekkende invloed van de zwaartekracht).
Dit heeft iets weg van een vliegtuig dat over geaccidenteerd terrein vliegt.

[Peter van Velzen]

Niemand kan zich - denk ik - een gekromde ruimte goed voorstellen. Ik zelf kom niet verder dan een gekromd oppervlak (dat van de aarde). Een euclidische ruimte van drie dimensies lukt ons wel, want die komt enigzins overeen met de wereld om ons heen. Strikt genomen komt ze er echter niet mee overeen, want het vlak waarop wij staan is eigenlijk een boloppervlak. En overal in het heelal zijn massa's die de ruimte vervormen. Vier dimensies is voor de meeste mensen helemaal een stap te ver. Maar in wiskundige modellen kun je je computer met veel meer dimensies laten rekenen. Mensen die trachten de stringtheorie te ontwerpen werken met wel 11 dimensies, maar die bevatten niet allemaal equivalente dimensies. Er zijn er bij die meer gekromd zijn dan de anderen. Geen idee wat de consequenties daarvan zijn.

Maar pak er vooral een globe bij, en leg daar een oprolbaar meetlint overheen, dan zie je precies wat de gevolgen van de kromming zijn. Het rechte meetlint, draait altijd in een cirkel rond de globe.