Pythagoras voor Dummy’s

[Petra]

PS.
Het bewijs is niet zo moeilijk hoor, het kan simpel met middelbare school wiskunde.

Zie je wel dat je een grapjas bent.

[Peter van Velzen]

Mijn tegen voorbeeld bewijst wel degelijk dat je methode niet altijd werkt.
Wat je doet is wat wat rommelen met het verwisselen van hoeken wat niet mag.

Want dan maak je een ander sommetje.

Ik maak telkens hetzelfde sommetje en Ik verwissel helemaal geen hoeken. Dat deed jij.
Mijn methode werkt altijd bij hoeken tegenover de zijde die in de parametrisering van de pythagorese drietallen gelijk is aan 2SR.
Jij verzint een voorbeeld waarin die zijde niet de middelste is qua lengte. Dat bewijst uiteraard niets.

Jij speelt alleen maar stuurman aan de wal, rekenen doe je niet, en bewijzen ook niet.
Kun je het eigenlijk wel? Ik geef direct toe dat ik er slecht in ben, maar tot nu toe heb ik jou niets van dien aard zien doen. Je claimt van alles zonder ooit iets aan te tonen. Zelfs een fatsoenlijk tegenvoorbeeld kun je niet verzinnen. Want met het voorbeeld waarmee je kwam, kon ik nog steeds een pythagorees drietal genereren, dat een tussenliggende hoek oplevert. (tegenover 2SR).

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Ik maak telkens hetzelfde sommetje en Ik verwissel helemaal geen hoeken. Dat deed jij.
Mijn methode werkt altijd bij hoeken tegenover de zijde die in de parametrisering van de pythagorese drietallen gelijk is aan 2SR.
Jij verzint een voorbeeld waarin die zijde niet de middelste is qua lengte. Dat bewijst uiteraard niets.

Jij speelt alleen maar stuurman aan de wal, rekenen doe je niet, en bewijzen ook niet.
Kun je het eigenlijk wel? Ik geef direct toe dat ik er slecht in ben, maar tot nu toe heb ik jou niets van dien aard zien doen. Je claimt van alles zonder ooit iets aan te tonen. Zelfs een fatsoenlijk tegenvoorbeeld kun je niet verzinnen. Want met het voorbeeld waarmee je kwam, kon ik nog steeds een pythagorees drietal genereren, dat een tussenliggende hoek oplevert. (tegenover 2SR).

Het is nu eenmaal zo dat een tegen voorbeeld genoeg is om een vermoeden te ontkrachten.
Mijn tegenvoorbeeld is wel degelijk valide dat jij dat niet begrijpt ligt aan gebreken jouwerzijds.

Je hebt niets aan bewijs geconstrueerd slecht wat gerommeld met getallen en daar trek je de verkeerde conclusie uit.

Met een tegenvoorbeeld hoef ik verder niets te bewijzen, zo werkt dat in de wiskunde.

===============================

Je bewering is trouwens wel juist, maar je zogenoemde bewijs lijkt gewoon nergens op.

Dat ik er zelf geen bewijs voor heb gegeven is dat het heel wat schrijfwerk is war dit forum zich niet zo voor leent.
Ook acht ik de kans niet zo groot dat je het zou kunnen volgen.

Maar goed ik zal de lijn van het bewijs geven:

Er wordt uitgegaan van de eenheidscirkel.
De Pythagoreese tripels worden ingedeeld in klassen
Zitten ze in de zelfde klasse dan zijn ze gelijkvormig.
Elke klasse heeft dus precies één hoek van de driehoeken die ligt tussen 0 en 45 graden die de naam richthoek krijgt.

Als een representant van elke klasse wordt nu die driehoek genomen met een schuine zijde van 1.
Elke driehoek kan nu zo getekend worden dat de hoek punt van de richt hoek op de Oorsprong komt te liggen
en het andere hoekpunt op de eenheidscirkel.
Tevens ligt de rechthoekszijde van de richthoek op het positieve Xas.

Merk nu op:
1. Dat alle zes de goniometrische verhoudingen van deze representanten positieve rationele getallen zijn.
2. Dat de rechthoekszijden de sinus en cosinus van de richthoek zijn. (zo worden ze vaak gedefinieerd)

Er wordt uitgegaan van het formuletje dat je heb gebruikt om deze tripels te generen.
Het paar (p,q) wordt een voorbrengend paar van een Pyt. trippel gezien.
We definiëren dat als een functie P(p,q)
het domein van P is uiteraard beperkt
Voor de beeldruimte wordt de kleinste hoe genomen.

Beschouw nu P(p,1) p>3

Het is nu gemakkelijk in te zien dan:
de tangens van de richthoek (2p)/(p²-1) bedraagt.
de rij t(p)=(2p)/(p²-1) dalend is en convergeert naar nul.

Het gaat hier om tangens van richthoek dus ook de bijbehorend richthoeken dalen en convergeren naar nul.
Dit betekent dat hoek klein de richt hoek van Pyt. tripel ook is er altijd een tripel met een nog kleinere richthoek.

Beschouw nu twee verschillen Pyt. tripels met verschillende richthoeken.
Dan kan er altijd bij de kleinst richthoek r1 eentje worden opgeteld uit P(p,1) (r2) zodanig dat de som (r1+r2) kleiner is als de grootste richthoek.

De vraag is nu hoort daar ook een Pyth. tripel bij?

Dat is zo want uit de formules van sin(x+y) en cos(x+y) blijkt dat dit ook weer rationele waarden moeten zijn.

Hiermee is de propositie een stelling.

===================================

Formeel is bovenstaande zeker niet streng genoeg. maar dan wordt het al snel tweemaal zo lang.
Daar had ik weinig zin in.
Maakt men het bewijsje in de collegezaal met en bord dan is het hooguit vijf minuten werk.

PS.
Vrij eenvoudig te bewijzen is dat het de tripels volgen de gebruikte voortbrengende formule oneindig aftelbaar zijn.
Lastiger is te bewijzendat de dichtheid overal het zelfde is.

1. Wat niet bewezen is dat de gebruikte formule tenminste één representant van elke klasse voortbrengt.
2. Als wordt afgezien van dat gelijkvormigheid in wezen de zelfde driehoeken zijn, dan brengt de gebruikte formule niet alle Pyt. driehoeken voort.

[Peter van Velzen]

Maar goed ik zal de lijn van het bewijs geven:

Even nadenken hoor!
Waarom kijk je naar triples waarvan de parameters p>3 en r=1 zijn?
De sinus en de cosinus zijn dan respectievelijk p²-1 en 2p. OK dat snap ik.
Omdat p> 3 is p²-1 > 2p, dus 2p is de sinus en p²-1 de cosinus van de kleinste hoek.
Derhalve is tangens gelijk aam 2p/(p²-1). En dit wordt een waarde die willekeurig klein wordt als je p maar groot genoeg kiest. (het levert in feite een Cauchy-rij op).

Tot zover snap ik het. Maar hoe tel je nu twee hoeken bij elkaar op?!? Daar ken ik geen formules voor. Als ik die wel kende kon ik wellicht. concluderen, dat het resultaat uit rationele getallen moet bestaan. Maar nu heb ik geen idee waarom dat zo zou zijn.

Wat is een mens zonder Google: Ik heb de formules gevonden

OK, ik begrijp het bewijs. Dank voor deze uitleg. Vooral voor de moeite die het je moet hebben gekost. Voor jouw doen was dit een heel lang bericht.

Het bewijs lijkt mij ook sluitend voor een hoek groter en een kleiner dan 45 graden. Het is voldoende dat er een willekeurig kleine hoek bij de een kan worden opgeteld en van de andere kan worden afgetrokken, aangezien beide resultaten toch uit rationele getallen dienen te bestaan.

[pallieter]

Moest je ooit verlegen zitten om een bewijsje van Pythagoras:

https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml

[Bonjour]

Ik reed ooit naar huis vanaf de Ikea waar ik een kast van 236 hoog en 35 diep had gekocht voor een kamer van 240 hoog.
Toen vroeg ik me af "Kan ik de kast liggend op de grond opbouwen en dan overeind zetten?" Dat wil natuurlijk niet als de diagonaal groter is dan 240.
Dit probleem is zonder rekenmachine en zonder worteltrekken op te lossen. (Althans voor een natuurkundige.)
Weten jullie hoe ik het al rijdend berekend heb?

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Waarschijnlijk via:

240^2=(236+4)^2.

[Peter van Velzen]

Inderdaad. Uit mijn hoofd denk ik dat het kon want (a+b)² = a² + 2ab + b². Wat je meer kan velen dan (236)² is 2*4*236 +16 dat is meer dan 1600 dus zelfs bij een diepte van 40 zou het nog kunnen. Waarom zou je daartoe een natuurkundige moeten zijn? Je moet wel Pythagoras kennen, en de tafels van 4! (die twee nullen bedacht ik op de lagere school zelf al). Net als de Babyloniërs hoef ik niet te weten hoeveel (236)² is. En ook (35)² hoef ik niet te weten.

[Bonjour]

Ik dacht dat ik heel slim was, maar jullie doen het nog gemakkelijker.
Ik had de diagonaal uitgedrukt als a + d. Kwadraat hiervan is a^2 + 2ad + d^2. d^2 is veel kleiner dan 2ad dus als natuurkundige gooi ik die weg.
d bereken je dan via
a^2 + 2ad + d^2= a^2 + b^2
2ad = b^2
d = b^2/2a = b^2/472 = 30^2 + 2*30*5 + 25 / 472 = 1225/472 = (1000 + 22%)/(500 - 5%) = 2 + 17% = 2.3

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Ik dacht dat ik heel slim was, maar jullie doen het nog gemakkelijker.
Ik had de diagonaal uitgedrukt als a + d. Kwadraat hiervan is a^2 + 2ad + d^2. d^2 is veel kleiner dan 2ad dus als natuurkundige gooi ik die weg.
d bereken je dan via
a^2 + 2ad + d^2= a^2 + b^2
2ad = b^2
d = b^2/2a = b^2/472 = 30^2 + 2*30*5 + 25 / 472 = 1225/472 = (1000 + 22%)/(500 - 5%) = 2 + 17% = 2.3

Je doet je zelf behoorlijk te kort.
Je bent op het idee gekomen om het worteltrekken te omzeilen.

Ik niet hoor.
Ik ben er pas over gaan nadenken, toen je meldde dat het gemakkelijk te zien was.
Of ik zelf op die gedachte zou zijn gekomen staat nog maar.

[Bonjour]

pfff , dank je.

[Peter van Velzen]

vanmorgen vroeg wakker geworden en uitgerekend dat het oppervlak van een regelmatige 12-hoek met hoekpunten op de eenheidscirkel,precies 3 is. Ook bedacht, dat als je een regelmatig n-hoek hebt verdeeld in n driehoeken dat het oppervlak van een regelmatige 2n-hoek gelijk is aan dat van de n-hoek gedeeld door de cosinus van de kleinste hoek in zo'n driehoek.

Moest je ooit verlegen zitten om een bewijsje van Pythagoras:

https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml

Voor 'echte dummy's is deze meer dan genoeg!