Pythagoras voor Dummy’s

[Peter van Velzen]

En Babyloniërs.

Omdat mijn vrouw de rekening van de internetprovider niet had betaald, was ik vandaag (1 october) onverwacht off-line. Ik gebruik daarom mijn PC nu om een uitgebreid verslag te doen van mijn mankelieke pogingen om een Babylonisch spijkerschrifttablet te reproduceren. Twee wiskundigen aan de universiteit van nieuw zuid-wales (Australië) hadden daarover een artikel gepubliceerd dat in augustus zowaar het nieuws haalde. Alhoewel de recensie van Scientific American die ik op Facebook tegenkwam er op neer kwam dat de heren eigenlijk niets nieuw hadden ontdekt, vond ik het verhaal toch wel interessant. Het is net simpel genoeg om door een dilletant als ik te kunnen worden begrepen. En beide heren gingen er in enkele youtube video’s op het kanaal van een van beiden uitgebreid op in.

In eerste instantie lieten ze een in vertaling naar arabische cijfers zien van wat de Babyloniërs in de vorm van spijkers (zo ziet het teken voor eenheden er écht uit) en van pijlen naar links (voor tientallen) in het kleitablet hadden gegrift. Dat bestond uit vier kolommen. Een eerste waarmee het kwadraat van lengte van een diagonaal in een rechthoekige driehoek wordt aangegeven, als de lengte van de langste rechte zijde gelijk is aan één. Dat is reuze handig want de kwadraten van de rechte zijden bij elkaar opgeteld zijn (volgens stelling van Pythagoras) gelijk aan het kwadraat van de diagonaal, dus als je het cijfer één, dat geheel links was afgebeeld weglaat heb je tevens het kwadraat van de kortste zijde te pakken. Dat (kleinere) getal bestond uit 60-sten, 3600-sten. 21.600-sten etcera, waarbij een nul alleen zichtbaar is als een lege ruimte. De volgende twee kolommen gaven een versimpelde verhouding weer tussen de lengte van de diagonaal en en lengte van de korte zijde. Vreemd genoeg waren daarbij voor de bekende 3-4-5 driehoek niet de simpelste waarden (5 en 3) afgebeeld, maar in plaats daarvan de echte verhoudingen tot 1: 1.15 (1¼) en 0.45 (¾). De laatste kolom was een rijnummer (1 t/m 15). De beide heren vertelden zowel dat er links een of meer kolommen waren afgebroken als dat er onderaan nog meer rijen moeten zijn geweest. Ze beweerden dat er in het totaal 38 moeten zijn geweest, waarom wist ik na de eerste video nog niet.n

Ik besloot om te proberen het tablet zelf met behulp van de standaard parametrisering van Pythagorese drietallen te reproduceren en ik kwam een heel eind. Die parametrisering gaat als volgt. Neem twee natuurlijke getallen S en R met S strikt groter van R. Dan kun je daarmee drie getallen uitrekenen. De eerste is gelijk aan S-kwadraat – R-kwadraat, de tweede is gelijk aan 2 x S x R, en de derde is gelijk aan S-kwadraat + R-kwadraat. Het blijkt dan altijd het geval te zijn dat het kwadraat van het eerste getal + het kwadraat van het tweede getal = het kwadraat van het derde getal.

Voorbeeld: S = 2 en R = 1.
Het eerste getal = 2x2-1x1=4-1=3.
Het tweede getal = 2 x 2 x 1 = 4
Het derde getal = 2x2+1x1=4+1=5.
En zie 3-kwadraat (9) plus 4-kwadraat (16) = 5-kwadraat (25).

Omdat de Babyloniërs, alleen geinteresseerd waren in de verhoudingen en niet een omvang van de driehoeken, zouden ze uiteraard vermijden getallen te gebruiken die eenzelfde (priem)factor hadden. Neem je in mijn eerste voorbeeld namelijk S = 4 en R = 2. Dan krijg je:

Het eerste getal = 4x4-2x2=16-4=12.
Het tweede getal = 2 x 4 x 2 = 16
Het derde getal = 4x4+2x2=16+4=20.
En zie 12-kwadraat (144) plus 16-kwadraat (256) = 20-kwadraat (400).
Maar wie goed oplet beseft, dat we nu een driehoek hebben die gelijkvormig is aan de eerste. Alleen zijn alle zijden nu 4 keer zo groot als voorheen. Een dergelijke opgeblazen berekening heeft uiteraard geen enkele zin, als je het middelste getal, toch altijd terugrekent tot één.

Ook zouden de Babyloniërs, geen getallen willen die in hun talstelsel niet tot een kúnnen worden herleid, en dat betekent géén priemfactoren groter dan 5. Als S of R zo’n factor heeft, dan heeft 2 x R x S, diezelfde factor en dat zou leiden tot een repeterende breuk. Dan is de kleibodem van het hele tweestromenland nog niet groot genoeg om je uitkomst in te kerven (tenzij je kunt aangeven waar de repetitie begint).

Daarbij bedacht ik dat het niet altijd zo is dat het tweede getal (2 x S x R), in mijn voorbeelden altijd het middelste qua grootte is. Zie het simpele voorbeeld van S = 3 en R = 1.

Het eerste getal = 3x3-1x1=9-1=8.
Het tweede getal = 2 x 3 x 1 = 6
Het derde getal = 3x3+1x1=9+1=10.
En zie 8-kwadraat (64) plus 6-kwadraat (36) = 10-kwadraat (100). Maar het tweede getal is niet het middelste qua grootte. Dat is het eerste getal. Zou het kunnen dat ik daar een waarde zou kunnen krijgen die niet in het Babylonische systeem tot één kan worden herleidt? Ja dat kan: Bijvoorbeeld bij S = 5 en R = 2

Het eerste getal = 5x5-2x2=25-4=21.
Het tweede getal = 2 x 5 x 2 = 20
Het derde getal = 5x5+2x2=25+4=29.
21-kwadraat (441) plus 20-kwadraat (400) = 29-kwadraat (841). Maar het middelste getal qua grootte is deelbaar door 7 en derhalve niet te herleiden tot 1. In het decimale stelsel krijg je dan 0,047619(047619) etcetera, De Babyloniers zouden uitkomen op: 2.51.25.42.(51.25.42.) etcetera. (hoe je dát uitrekent leg ik onderaan nog even uit) Daar hadden ze geen trek in.

Ik heb dus heftig zitten controleren of het tweede getal qua grootte niet per ongeluk zo’n ongeluksfactor had, om achteraf te ontdekken dat de Babyloniërs die mogelijkheid helemaal niet hebben bekeken. Ze werkten uitsluitend met getallen waar S-kwadraat+R-kwadraat kléiner was dan 2 x S x R. Allemaal werk voor niets dus.

Toen ik zo een tijdje had zitten knoeien, ontdekte ik dat ik toch niet goed in de gaten had gehouden of S en R niet toevallig een priemfactor gemeen hadden, of er een hadden groter dan 5. Ik kreeg bjvoorbeeld – teruggerekend naar middelste=1 doubletten. Om dat uit te sluiten besloot ik opnieuw te beginnen en een sjabloontje te tekenen (in een vierkant) waarbij in in kleur zou weergeven welke priemfactoren bij welk getal werden gebruikt.
Zwart voor getallen met een priemfactor van 7 of meer. Wit voor 1 (die mag altijd als R worden gebruikt,uiteraard niet als S, want S moet groter zijn dan R), geel voor alleen de factor 2, rood voor aleen de factor 3 en blauw voor alleen de factor 5. Uiteraard Oranje (rood+geel) voor getallen met zowel factor 2 als 3, groen(geel+blauw) voor getallen met zowel factor 2 als 5 en paars (blauw+rood) voor getallen met zowel de factor 3 als 5. Tenslotte bruin (groen+rood) voor getallen die ze alle drie bevatten. Hoe groot moest mijn vierkant worden? Omdat ik als grootste S tot dan toe 125(blauw) was tegengekomen, besloot ik het 1 bij 12 te houden, met als grootst mogelijke getal dus 144(oranje). Later zou ik op youtube ontdekken, dat eerdere wiskundigen al hadden ontdekt dat de Babyloniërs inderdaad diezelfde grenswaarde hadden gebruikt.

De regels waren simpel.
Absoluut geen zwarte getallen
R-getallen altijd kleiner dan S-getallen en nooit bruin maar wit (1) mag altijd.
Verder:
Gele S-getallen alleen samen met R-getallen die blauw, rood of paars zijn.
Rode S-getallen alleen samen met R-getallen die blauw, geel of groen zijn.
Blauwe S-getallen alleen samen met R-getallen die rood, geel of oranje zijn.
Paarse S-getallen alleen samen gele R-getallen.
Groene S-getallen alleen samen rode R-getallen.
Oranje S-getallen alleen samen met blauwe R-getallen.
Bruine S-getallen alleen samen met wit (1)

Met dat 12 bij 12 vierkant in kleur naast mijn onderhanden spreadsheet, kwam ik een stuk beter uit de voeten dan dat ik telkens moest uitzoeken welke getallen in aanmerking kwamen om te worden gekoppeld op grond van hun factoren. Toch kwam ik niet tot 38 rijen en zaten er nog wel wat fouten in de herleiding tot het 60-tallig stelsel. Pas in de video van 1 october legden de heren uit dat de Babyloniërs voor R onder de 60 waren gebleven. (grootste getal is dan 54:oranje) en dat andere wiskundigen dat ook al hadden bedacht, Wat ze zélf hadden toegevoegd was dat de links afgebroken kolommen waarschijnlijk de zuivere verhoudingen waren geweest van de kortste en langste zijde (de diagonaal) tot de middelste.

Een belangrijke fout die ik had gemaakt was dat ik eerst de verhouding van het kleinste tot het middelste kwadraat had berekend en toen pas over ging tot het omrekenen naar het 60-tallig stelsel. Dat leidt tot gemene afrondingverschillen. Verder was ik soms gestopt bij een cijfer dat 0 was, terwijl er achter nog méér cijfers zouden komen. Wat ik had moeten doen was telkens de (rest)waarde van het kleinste kwadraat met 60 vermenigvuldigen en dat door het middelste kwadraat delen (afronden naar beneden) om één voor één alle cijfers voor kolom één (oorspronkelijk dus kolom 3), te berekenen en pas te stoppen als die rést 0 was. Toen ik aldus gewapend nog eens mijn werkwijze herhaalde, kreeg ik eindelijk 38 getallen, dezelfde als de Australiërs.

Even de omrekening uitleggen aan de hand van mijn eerdere voorbeeld met 1/21:
Eigenlijk doe je hetzelfde als in een staartdeling, alleen vermenigvuldig je daar met 10, wat simpeler is omdat je alleen een 0 achteraan hoeft toe te voegen. De Babyloniërs hadden nog geen 0 (en een spatie achtervoegen doet niks), dus dat konden ze niet. Anders hadden zij het tientallig stelsel wel bedacht!


60x1=60, 60/21=2 rest 18,
18*60=1080, 1080/21 = 51 rest 9,
9*60=540, 540/21 = 25 rest 15.
15x60=900, 900/21 = 42 rest 18.
18..... (inderdaad dat hadden we boven al gedaan) de breuk repeteert.

Het spreadsheet bevatte wel wat ingewikkelder breuken, zoals: 849.660 / 14.400 = 59 rest 60. De grootste was zelfs (getal van 10 cijfers) / (getal van 9 cijfers) = 53, rest: (getal van 8 cijfers). Excel liet alleen 53 compleet zien (de kolommen waren te smal voor de andere getallen), maar meer had ik in die stap ook niet nodig. Ze repeteerden in elk geval niet.

In hun laatste video legden de australiërs uit dat de Babyloniërs op een ander manier de parametrisering uitrekenden dan wij (als ik in mijn voorbeelden dus). Ze deelden alle drie de Pythagorische drietallen door 2 x S x R en werkten dus met:
1e getal = S-kwadraat – R-kwadraat / (2 x S x R) = (S/R – R/S)/2
2e getal = 1
3e getal = S-kwadraat + R-kwadraat / (2 X S x R) = (S/R + R/S)/2
Voorbeeld: S = 2 en R = 1:

1e getal = (2 – ½)/2 = 0,75 (op zijn Babylonisch: (0.45)
2e getal = 1
3e getal = (2+1/2)/2 = 1,15 (op zijn Babylonisch: 1.15)
De 0 werd trouwens niet getoond, want die had je toen nog niet, maar omdat je wist dat het 2e getal groter hoort te zijn, kun je die zelf er bij denken. Als Babylonische “computer” (tot en met 1945 CE was “computer” een beroep!) moest je dus wel verrekte goed opletten.

Wat wel weer makkelijk voor ze was, was delen door 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, of 30, dat was een cijferpositie verschuiven en vervolgens vermenigvuldigen met 30, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3, of 2. Alleen moest je wel weten dat er een 60 keer kleinere eenheid mee werd aangegeven, Voor ons zou dat inhouden 1 uur / 4 = 15 minuten. 1 minuut / 10 = 6 seconden. Zolang je maar eenheden hebt die een 60-voud verschillen, kom je er wel. Dus dat had men daar dan ook meestal zo geregeld. Overigens legde de recencent van Scientific American uit dat wij dat net zo goed kunnen, maar ons wordt dat op school niet geleerd: 100 / 2 = 10 * 5 etcetera. Maar wie alle manieren kent op 100 door te delen, heeft 2, 4, 10, 20, 25 en 50 ter beschikking. OK slechts 6 %, waar men in Babylon bijna 17% uit het hoofd kon doen. De wetenschappelijke amerikaan merkte op dat ze alleen het cijfer extra ter beschikking hadden, maar dat klopt niet: je hebt 10 cijfers op 60 in plaats van 6 op 100. Evenwel tot 10 zijn wij weer in het voordeel: met 20% liefst!

Ik voeg straks nog wat reacties toe met relevante youtube-filmpjes, voor wie er het fijne van wil weten.

[Peter van Velzen]

Videoplaylist uit australië

https://www.youtube.com/watch?v=HBW_BAG ... dYROT6-o4e

De eerste aflevering:

[Peter van Velzen]

Het babylonische talstelsel:


Op zijn simpelst




Iets verfijnder

[Peter van Velzen]

De stelling van Pythagoras:

De afspeellijst:

https://www.youtube.com/watch?v=rg2e1dz ... mZx5MPHfgM


De eerste aflevering:

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Dat de Babyloniërs niet noteerden 3:4:5 maar liever 1:4/3:5/3
Is niet zo vreemd het biedt duidelijk voordelen bij verdere bewerkingen.

Daarbij is het ook beter te tabellariseren iets wat ze breed toepasten.
(ze losten daar zelfs derdegraads vergelijkingen mee op)

Ook heeft het veel weg van onze goniometrische verhoudingen, zeer modern dus.

============================

Ik heb lang geleden ook eens zulke getallen drietallen geproduceerd met een spreadshead.

Dat was lastig want in dat verre verleden hadden die nog niet het If Then Else statement.

Heb dat op de Dummy methode opgelost.
Liet er eerste enkele duizenden maken. (dat was wel de grens van de rekenkracht toen)

Maar ik liet ook de kleinste hoek uitreken van de driehoek.
Daarna sorteerde ik op de hoeken en skipte de dubbele en klaar was Kees.

Naderhand heb ik het wat anders aangepakt met Turbo-Pascal, maar dast was wel meer werk.

PS.
Een interessante vraag is:
Hoe bewijs je dat er tussen elke twee hoeken er weer eentje is met een Pythagorees drietal.

[Peter van Velzen]

PS.
Een interessante vraag is:
Hoe bewijs je dat er tussen elke twee hoeken er weer eentje is met een Pythagorees drietal.

Ik moest even nadenken maar de “hoek” is het makkelijkste te beschouwen als de verhouding tussen tweemaal de diagonaal en de lange rechte zijde.
op zijn Babylonisch dus S/R+R/S. (simpeler kan ik het niet maken)
Laat voor de ander hoek S’=S+s en R’=R+r zijn.
Dan is voor een hoek die ertussen in zit bijvoorbeeld S’’=S+s/2 en R’’=R+r/2. (je kunt het verschil door elk getal delen, maar 2 lijkt het simpelste) Voor “onze” beschouwing van een Pythagorees drietal als 3 natuurlijke getallen, moet je deze twee getallen uiteraard met 2 vermenigvuldigen. In Babylon hoefde dat uiteraard niet.

Voorbeeld:
S=3 en R = 2: S/R+R/S=3/2+2/3=9/6+4/6=13/6=182/84
S’=4 en R’=1: S’/R’+R’/S’=4/1+1/4=16/4+1/4=17/4=357/84
S’’=7 en R’’=3: S’’/R’’+R’’/S””=7/3+3/7=49/21+9/21=58/21=232/84
De omrekening naar 84-sten is uiteraard om te laten zien dat de uitkomst er inderdaad tussenin zit.

In Babylon zou een voorbeeld overigens lastiger zijn, want met het getal 7 konden ze daar niet uit de voeten! Ze zouden in plaats van het halve verschil dan wellicht 1/3 moeten nemen om op 10 en 4 (of oftewel 5 en 2 uit te komen.
hun resultaat was dan 5/2+2/5=25/10+4/10=29/10. het ggv van het deeltal is dan 60. (heel Babylonisch)
De resultaten zijn dan 130/60, 235/60 en 174/60 (er tussenin).

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Je notatie is voor moeilijk leesbaar, dat heeft een oorzaak.
Maar het maakt het voor mij moeilijk leesbaar.

Mij lijkt het bewijs onjuist, wel zal je voorbeeld best kloppen maar dat zegt niet veel.

Je gaat er van uit dat z1=2RS groter moet zijn dan z2=S²+R², maar dat moet dan wel bewezen worden.

Daarbij weet ik nog dat bij wat verandering de verhouding van god naar het springt.
Het is dus niet zeker dat hij er altijd perse tussen komt.

[Peter van Velzen]

Je notatie is voor moeilijk leesbaar, dat heeft een oorzaak.
Maar het maakt het voor mij moeilijk leesbaar.

Mij lijkt het bewijs onjuist, wel zal je voorbeeld best kloppen maar dat zegt niet veel.

Je gaat er van uit dat z1=2RS groter moet zijn dan z2=S²+R², maar dat moet dan wel bewezen worden.

Daarbij weet ik nog dat bij wat verandering de verhouding van god naar het springt.
Het is dus niet zeker dat hij er altijd perse tussen komt.

Jij hebt duidelijk óók problemen met typen (net als ik).
Overigens is 2RS altijd kleiner dan S-kwadraat PLUS R-kwadraat, nooit groter. Je bent - denk ik - in de war met S-kwadraat MIN R kwadraat. Die laatste heb ik dan ook bewust vermeden.

Ik dacht eerst wel dat het niet zeker zou zijn dat S''/R''+R''/S'' altijd tussen S/R+R/S en S'/R'+R'/S' zou moeten liggen. Totdat ik besefte dat S altijd groter moet zijn dan R (anders zou S-kwadraat - R-kwadraat negatief worden). Dat betekent dat er geen omkering kan plaatsvinden, zolang de nieuwe S maar tussen de beide eerdere ligt en de nieuwe R idem dito. Als S en R dichter bij elkaar komen dan nadert S/R+R/S tot 2, als ze verder uiteen raken dan nadert het resulaat tot S. (aangezien R niet kleiner kan worden dan 1). De vraag of de hoek in een van beide gevallen nadert tot 0 of tot 90 graden hangt af van de vraag of ons getal (S/R+R/S) 2 x de secans of 2 x de cosecans weergeeft. Niet van de vraag welke van de drie getallen de kleinste is.

Waarschijnlijk ben ik wat kort door de bocht, maar de redenatie is onweerlegbaar.
Ik moet overigens toegeven dat het bewijs een stuk makkelijker is, dankzij de Babylonische methode om de drietallen weer te geven.
Met kwadraten zou ik waarschijnlijk veel meer moeite hebben om tot een bewijs te komen.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Er had in mijn verhaal inderdaad een min moeten staan.

Maar die met een plus levert de schuine zijde op en die heb je in de begin verhouding verwerkt.

je deelt daar namelijk door SR die komt van 2SR en die zie je als de grootste.

===============

Dat je willekeurig dicht bij 0 graden kunt komen volgt niet uit je verhaal.

[Peter van Velzen]

Er had in mijn verhaal inderdaad een min moeten staan.

Maar die met een plus levert de schuine zijde op en die heb je in de begin verhouding verwerkt.

je deelt daar namelijk door SR die komt van 2SR en die zie je als de grootste.

Die zie ik helemaal niet als de grootste! Het mag evengoed de kleinste zijn of worden. Mijn formule komt neer op het delen van 2 x de diagonaal door één van beide zijden. Het dondert wat mij betreft niet of dat de kleinste is. In geval van het Babylonsche kleitablet is het toevallg wel altijd de de grootste, maar wat mij betreft is het irrelevant. Als de ene hoek groter is dan 45 graden en de andere hoek is kleiner dan 45 graden, dan wisselt de kortste rechte zijde van plaats met de langste rechte zijde, maar zowel de secans als de cosecans liggen bij een hoek daar tussenin tussen de secans-en respectievelijk de cosecans-en van de grotere hoek en de kleinere. Je maakt mij niet wijs dat dat niet waar is.

Nog maar eens een voorbeeld van een hoek tussen twee andere hoeken, waarbij de zijde die weergegeven wordt door 2SR in het ene geval de kleinste is en in het andere geval de grootste. Maar voor mijn doeleinde echter is 2SR de zijde tegenover de betreffende hoek.

S=4 en R=1
S-kwadraat – R-kwadraat = 15
2SR = 8
S-kwadraat + R-kwadraat = 17
Sinus = 8/17 Secans = 17/8
Hoek: 28 graden en 4 minuten

S’=3 en R’=2
S’-kwadraat – R’-kwadraat = 5
2S’R’ = 12
S’-kwadraat + R’-kwadraat = 13
Sinus = 12/13 Secans = 13/12
Hoek: 67 graden en 23 minuten

Ik neem het gemiddelde van S en R en vermenigvuldig dat met 2.

S’’=7 en R’’=3
S’’-kwadraat – R’’-kwadraat = 40
2S’’R’’ = 28
S’’-kwadraat + R’’-kwadraat = 58
Sinus = 28/58 Secans = 58/28
Hoek: 28 graden en 52 minuten. (ligt dicht bij de eerste. Maar wel ertussenin)

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Je methode kan niet goed zijn:

Immers de paren (4,2) en (6,2) leveren allebei de verhouding 3:4:5 op.

Ga je daar nu tussen zitten met jouw methode dan krijg je het paar (5,2).
Dat levert echter de verhouding 20:21:29 op welke een andere is.

Hij zou echter ook 3:4:5 moeten opleveren, dus klopt je methode niet.

[Peter van Velzen]

Je vergelijkt een hoek groter dan 45 graden met een hoek kleiner dan 45 graden en omdat ze toevallig in dezelfde rechthoekige driehoek voorkomen claim je dat ze gelijk moeten zijn! Verder zondig je tegen de regel dat de getallen relatief priem moeten zijn. Maar dat vergeef ik je. Je vergelijkt in wezen S=2 en R=1, met S=3 en R=1

S=2 en R=1
S-kwadraat – R-kwadraat = 3
2SR = 4
S-kwadraat + R-kwadraat = 5
Sinus = 4/5
Hoek: 53 graden en 8 minuten

S’=3 en R’=1
S’-kwadraat – R’-kwadraat = 8
2S’R’ = 6
S’-kwadraat + R’-kwadraat = 10
Sinus = 6/10
Hoek: 36 graden en 52 minuten(beide samen zijn dus 90 graden!)

S’’=5 en R’’=2
S’’-kwadraat – R’’-kwadraat = 21
2S’’R’’ = 20
S’’-kwadraat + R’’-kwadraat = 29
Sinus = 20/29
Hoek: 43 graden en 38 minuten. (mooi er tussenin!)

Heb je je denkfout inmiddels door?

Hoe bewijs je dat er tussen elke twee hoeken er weer eentje is met een Pythagorees drietal.

Tussen elke twee hoeken! (niet tussen elke twee drietallen). Maar elke driehoek, heeft drie hoeken, als één daarvan 90 graden is, zijn er nog twee over en die hoeven niet gelijk te zijn en kijk en zie: Er bevindt zich nog een hoek ertussen met een Pythagorees drietal.

Maar kan ik voor die hoek en zijn aangrenzende hoek (46 graden en 12 minuten) hetzelfde kunstje flikken? Dat is nog maar de vraag, want 21 kan nooit gelijk zijn aan 2SR. Dus dáár faalt mijn methode wél. Waarschijnlijk vermoedde je dat al, maar zocht je de weerlegging in een verkeerde richting, Je dacht dat ik mij baseerde op de grootste van de twee rechte zijdes, terwijl ik me baseerde op de hoek die tegenover de 2SR zijde lag. Ik kan het dus alleen doen tussen twee hoeken die voortkomen uit een primitief Pythagorees drietal en beide een SECANS van (S/R+R/S)/2 hebben. Dus dat is maar beperkt.

Nochthans: Als dat zo is, is er altijd een tussenliggende hoek te vinden gebaseerd op een primitief pythagorees drietal met wederom een secans van (S/R+R/S)/2. Ik vermoed – omdat er oneindig veel natuurlijke getallen zijn – dat het ook in het algemeen kan, maar dát kan ik niet (zo snel) bewijzen. Het gaat echter wél op voor de complimenten van de hoeken uit het kleitablet. (dus automatisch ook voor de hoeken zelf), maar (misschien) niet (altijd) voor een hoek en zijn compliment. En misschien zijn er irrationele sinussen waarvoor het helemaal niet kan.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Je vergelijkt een hoek groter dan 45 graden met een hoek kleiner dan 45 graden en omdat ze toevallig in dezelfde rechthoekige driehoek voorkomen claim je dat ze gelijk moeten zijn! Verder zondig je tegen de regel dat de getallen relatief priem moeten zijn. Maar dat vergeef ik je. Je vergelijkt in wezen S=2 en R=1, met S=3 en R=1

Ik beschouw gelijkvormige driehoeken als de zelfde.
Daar is in dit verband niets tegen, daar dat in de wiskunde hiervoor gebruikelijk is.

Jij verzint er echter een regeltje bij

Ik maak dus helemaal geen denkfout, jij bent de gene die dat doet.

Je bewijst ook helemaal niets, je komt alleen met rekenvoorbeelden die toevallig kloppen.

[Peter van Velzen]

Je vergelijkt een hoek groter dan 45 graden met een hoek kleiner dan 45 graden en omdat ze toevallig in dezelfde rechthoekige driehoek voorkomen claim je dat ze gelijk moeten zijn! Verder zondig je tegen de regel dat de getallen relatief priem moeten zijn. Maar dat vergeef ik je. Je vergelijkt in wezen S=2 en R=1, met S=3 en R=1

Ik beschouw gelijkvormige driehoeken als de zelfde.
Daar is in dit verband niets tegen, daar dat in de wiskunde hiervoor gebruikelijk is.

Jij verzint er echter een regeltje bij

Ik maak dus helemaal geen denkfout, jij bent de gene die dat doet.

Je bewijst ook helemaal niets, je komt alleen met rekenvoorbeelden die toevallig kloppen.

Niet toevallig. ze kloppen alleen voor twee hoeken die een cosecans hebben die gelijk is aan (S/R+R/S)/2. Dat is namelijk mijn aanname. En op grond daarvan kun je stellen dat het ook voor de andere scherpe hoeken in die twee driehoeken waar is. (die is immers het complement van de eerste. Het voorbeeld dat jij gaf waarvan je dacht dat het mijn ongelijk bewees, was toevallig het enige geval waarin het ook klopt voor twee hoeken in dezelfde driehoek. Dat de driehoeken dezelfde zijn, betekent écht niet dat beide hoeken ook gelijk zijn. Ik bleek - bij toeval - in staat om een hoek te berekenen die ertussen lag, maar alleen omdat er twee drietallen waren (een primitieve en een met twee keer zo grote waarden) waarbij de ene keer de kleinste hoek een cosecans had gelijk aan (S/R+R/S)/2 en de andere keer de complementaire hoek.

Als je consequent de rechte hoek rechtsonder houdt en de hoek waarvan de cosecans (S/R+R/S)/2 is linksonder houdt, zul je ontdekken dat beide driehoeken (die men als gelijkvormig beschouwd in feite gespiegeld en een kwart slag geroteerd zijn. Ik ben alleen in staat een trio te berekenen voor een hoek die tussen twee hoeken bevindt die zich onder die voorwaarden beiden linksonder bevinden. Tussen een linksonder hoek en een rechtsboven hoek kan ik dat niet.

Uiteraard ontbreekt mij de wiskundige vaardigheid om zelfs deze beperkte waarheid volgens de regels te bewijzen, maar dat neemt niet weg dat het klopt. Maar ik heb geen idee hoe ik - anders dan door trial en error - een tussenliggende hoek die deel uitmaakt van een driehoek die een pythagorees drietal als verhouding tussen de drie zijden heeft kan berekenen voor twee hoeken die niet aan de beschreven voorwaarde voldoen.

Voor het algemene geval heb ik dus inderdaad niets bewezen. Daar heb je dan weer volkomen gelijk in. Ik was al verbaasd dat ik het in dit speciale geval wél kon. Maar ga gerust verder op zoek naar een voorbeeld waar het ook onder die voorwaarden niet werkt, Dat houdt je wel een levenlang van de straat.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Uiteraard ontbreekt mij de wiskundige vaardigheid om zelfs deze beperkte waargeid volgend de regels te bewijzen, maar dat neemt niet weg dat het klopt.

Een beroep op een voorbeeld als bewijs dat iets klopt is nu eenmaal niet toegestaan in de Wiskunde.
Je hebt dus doodeenvoudig geen bewijs.

Mijn tegen voorbeeld bewijst wel degelijk dat je methode niet altijd werkt.
Wat je doet is wat wat rommelen met het verwisselen van hoeken wat niet mag.

Want dan maak je een ander sommetje.

PS.
Het bewijs is niet zo moeilijk hoor, het kan simpel met middelbare school wiskunde.