Wordt logica aanvaard door wiskundigen en wetenschappers?

[Peter van Velzen]

Je hebt het recept laten zien, niet de Cauchy-rij. En nu doe je notabene alsof je eigen recept niet bestaat!

Het staat er gewoon potverdomme.

Of weet je niet dat decimalen getallen gewoon cauchy-rijen zijn?

Nee, dat weet ik niet. Zover ik weet zijn Cauchy-rijen eindeloos, terwijl decimale getallen in het algemeen eindig zijn. Ook heb ik in jouw verhaal over de natuurlijke logaritme van pi uitgedrukt in het zeventallig stelsel en dat weer opgevat als een uitdrukking in een hoger talstelsel, geen decimalen ontwaart. Je zou decimalen krijgen (en het begin van een Cauchy-rij) als je de taak daadwerkelijk zou gaan uitvoeren met het decimale talstelsel als hoger talstelsel. De reden waarom je het een Cauchy-rij kunt noemen (ook al is ze in eerste instantie eindig) is dat je haar hebt afgeleid van een irrationeel getal. (ik veronderstel dat de natuurlijke logaritme van Pi ook een transcedent getal is, al weet ik niet of en hoe dat bewezen kan worden). Ik accepteer een Cauchy-rij die volgens een recept kan worden opgebouwd heus wel als een beschrijving van een reëel getal. Wat ik alleen beweerde is dat jij die Cauchy-rij niet (gedeeltelijk) hebt laten zien. Alleen een recept om haar te verkrijgen. Is dat nou zo moeilijk te begrijpen?

Ter illustratie:

Een decimaal getal: 0,125
De Cauchy-rij die haar beschrijft: 0,1; 0,12; 0,125; 0,125; 0,125 etcetera.
Ik geef toe dat het spijkers op laag water zoeken is, maar ik probeer me bewust aan de definitie te houden.

Mijn punt was, dat je in je verhaal noch het een noch het ander hebt laten zien. Alleen de procedure waarmee je deze dingen zou verkrijgen. Mijn gebrekkig wiskundige vaardigheden hebben me ervan weerhouden om te proberen die procedure zelf uit te voeren. Waarschijnlijk kan ik in Excel een flink eind komen, dus dat ga ik straks proberen. Ik laat later nog wel eens weten hoever ik gekomen ben.

Inmiddels gedaan. Bleek wel even lastig. In eerste instantie deed ik het (natuurlijk) helemaal fout, in tweede instantie lijkt het te kunnen kloppen.

resultaat:

0; 0,1; 0,11; 0,110; 0,1100; 0,11004; 0,110043; 0,1100433 etcetera.

Ik heb nog wel wat meer cijfers gekregen(216635 en verder), maar ik betwijfel de nauwkeurigheid daarvan.

[The Black Mathematician]

Ik stel dat Cauchy-rijen een betere manier zijn om reële getallen te beschrijven dan Dedekindsneden, omdat ze sterk samenhangen met methodes om de irrationele getallen een plaats te geven tussen de rationele getallen.

Het is een methode om irrationale getallen een plaats te geven tussen rationale getallen. Net zoals Dedekindsneden, die heel natuurlijk zijn omdat in deze methode je uitgaat van de orde tussen rationale getallen en de gaten daartussen opvult.

Dingen die niemand ooit direct of indirect heeft geobserveerd, zie ik als waarschijnlijk niet bestaand. Een grondhouding die voor een atheist - denk ik - normaal is.

Alsof wiskunde aan de fysische werkelijkheid getoetst moet worden! We werken hier met formele constructies, niet met knikkers! Bovendien, als je dan echt consequent wilt zijn, zou je ook het hele begrip oneindigheid moeten afwijzen. Dan houd je echt niet veel wiskunde meer over.

Het is dus een academische vraag. Maar wel een die in dit topic past. Is het standpunt van de mainstream wiskundigen eigenlijk wel logisch? En uiteraard is het ook maar de vraag of het standpunt van de intuitieve wiskunde logisch is. Ik denk dat tot op zekere hoogte beiden grotendeels logisch zijn, maar ik heb tegenover beiden bedenkingen.

Het is intuïtionistische wiskunde, niet intuïtieve wiskunde, al ben je niet de enige hier die dat verkeerd schrijft. En zowel mainstream als intuïtionistische wiskunde zijn volstrekt logisch (volgens de wetten van de logica), want gegeven een stelsel axioma's worden er stellingen bewezen aan de hand van logische stappen. Ik heb het eerder gezegd: je veroorzaakt potentieel een hoop verwarring in deze discussie (die hier nota bene over o.a. logica gaat) door een andere invulling ("tegenintuïtief"?) aan het woord "logisch" te geven dan het proces van uitspraken afleiden uit andere uitspraken en axioma's door middel van stappen volgens formele logica (in dit geval klassieke eerste-orde logica dan wel intuïtionistische logica).

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Nee, dat weet ik niet. Zover ik weet zijn Cauchy-rijen eindeloos, terwijl decimale getallen in het algemeen eindig zijn.

Zucht.
Je kunt altijd er zoveel nullen achter zetten als je wilt.
Heb je alleen maar nullen dan heet zo iets de nulrij.
Dit is ook een Cauchy rij hoor.
Alleen is hij vanwege zijn eenvoud niet zo interessant.

PS.
Dat je dat niet ziet, bevestigd dat het je ook hier aan basis kennis ontbreekt.

Ook heb ik in jouw verhaal over de natuurlijke logaritme van pi uitgedrukt in het zeventallig stelsel en dat weer opgevat als een uitdrukking in een hoger talstelsel, geen decimalen ontwaart.

Zo heb je dat en wat waren de eerste tien decimalen?
Je hebt volgens mij niets gedaan om een decimale reeks te ontwikkelen.

Je zou decimalen krijgen (en het begin van een Cauchy-rij) als je de taak daadwerkelijk zou gaan uitvoeren met het decimale talstelsel als hoger talstelsel. De reden waarom je het een Cauchy-rij kunt noemen (ook al is ze in eerste instantie eindig) is dat je haar hebt afgeleid van een irrationeel getal. (ik veronderstel dat de natuurlijke logaritme van Pi ook een transcedent getal is, al weet ik niet of en hoe dat bewezen kan worden).

Wat moet er uitgevoerd worden???
Zodra de Cauchyrij is vastegelegd is het karwij geklaard.
Je verkeert nog steeds in de veronderstelling dat een getal er pas is als het met een eindig aantal cijfertjes is vastgelegd.

Dat het transcendent is bewijsbaar, maar dat zijn geen bewijzen voor beginners.

Ik accepteer een Cauchy-rij die volgens een recept kan worden opgebouwd heus wel als een beschrijving van een reëel getal. Wat ik alleen beweerde is dat jij die Cauchy-rij niet (gedeeltelijk) hebt laten zien. Alleen een recept om haar te verkrijgen. Is dat nou zo moeilijk te begrijpen?

Waarom moet ik het laten zien?
De methode is wel omschreven en het voorbeeld is willekeurig gekozen.
Het uitwerken is niet moeilijk, maar wel veel reken werk.

Ter illustratie:

Een decimaal getal: 0,125
De Cauchy-rij die haar beschrijft: 0,1; 0,12; 0,125; 0,125; 0,125 etcetera.
Ik geef toe dat het spijkers op laag water zoeken is, maar ik probeer me bewust aan de definitie te houden.

Dat probeer je misschien maar het lukt niet erg.
Het is niet DE maar EEN Cauchy rij.............
Voor de rest kan ik niets met je voorbeeld.

Mijn punt was, dat je in je verhaal noch het een noch het ander hebt laten zien. Alleen de procedure waarmee je deze dingen zou verkrijgen. Mijn gebrekkig wiskundige vaardigheden hebben me ervan weerhouden om te proberen die procedure zelf uit te voeren.

Ja zo werkt dat in de Wiskunde, het gaat om procedures en bewijzen.
Praktische uitvoering is stukken minder belangrijk.

Waarschijnlijk kan ik in Excel een flink eind komen, dus dat ga ik straks proberen. Ik laat later nog wel eens weten hoever ik gekomen ben.

Inmiddels gedaan. Bleek wel even lastig. In eerste instantie deed ik het (natuurlijk) helemaal fout, in tweede instantie lijkt het te kunnen kloppen.

resultaat:

0; 0,1; 0,11; 0,110; 0,1100; 0,11004; 0,110043; 0,1100433 etcetera.

Ik heb nog wel wat meer cijfers gekregen(216635 en verder), maar ik betwijfel de nauwkeurigheid daarvan.

Ik werk nooit met Excel, dus of het daarmee kan weet ik niet.
Wat voor methode heb je gebruikt?

PS.
Je antwoord is in ieder geval niet goed.

[axxyanus]

Alsof de twee in tegenspraak zijn. Daarbij jij constateert niet slechts een feit, je probeert uit dat feit zaken af te leiden die wiskundig niet kloppen. Maar als we daar op wijzen dan is er blijkbaar een probleem met de wiskunde. Dat het eens aan jouw gebrek aan wiskundig inzicht zou kunnen liggen is iets wat je niet onder ogen wil zien.

Helaas is er niemand die in staat is mijn gebrek aan wiskundig inzicht te verhelpen. Maar ik bespeur wederom een Stropop: Want wat probeer ik af te leiden?

Dat is niet onze fout. Als wij er op wijzen dat je op een bepaald moment zelfrefererend verkeerd toepast omdat jij dat woord gebruikt op een moment dat het gewoon over een relatie gaat waarbij domein en beeld de zelfde verzameling zijn (een zeer vaak voorkomende situatie in wat wiskundigen bestuderen), en je op dat moment afhaakt i.p.v. te proberen te leren waar je in de fout gaat dan is het jouw verantwoordelijkheid dat dat inzicht niet te verhelpen valt.

Ik stel dat Cauchy-rijen een betere manier zijn om reële getallen te beschrijven dan Dedekindsneden, omdat ze sterk samenhangen met methodes om de irrationele getallen een plaats te geven tussen de rationele getallen.

Beter is geen wiskundig concept. Beter op welke manier? Beter omdat jij daar gemakkelijker mee omkan? Beter omdat de eigenschappen van de reële getallen er gemakkelijker uit te bewijzen vallen? Een voordeel van Dedekindsneden is dat je ze kan gebruiken voor andere veralgemeningen zoals bv, de surrreële getallen.

Ik denk slechts dat het geen nut heeft om te veronderstellen dat er Cauchy-rijen zijn waarvoor zo'n methode ontbreekt. Dingen die niemand ooit direct of indirect heeft geobserveerd, zie ik als waarschijnlijk niet bestaand. Een grondhouding die voor een atheist - denk ik - normaal is.

Niemand heeft ooit ook maar een wiskundig concept geobeserveerd. Ook dit is je al vaak duidelijk gemaakt. Wiskunde gaat over volledig abstractie concepten die we via bepaalde notaties representeren, waarvan we een aantal basis uitspraken doen, (de axiom's) en die uitspraken combineren we dan via afleidingsregels om nieuwe uitspraken over te doen. Niemand heeft de lege verzameling geobserveerd, Niemand het de verzameling natuurlijke, gehele of rationale getallen geobserveerd niemand heeft een punt of een lijn geobserveerd. Wat wij tekenen zijn maar representaties die ons helpen bij onze gedachtengang.

Dergelijke abstractie proberen te behandelen alsof het om reële objecten gaat en er je intuïtief sceptisme op een dergelijke manier op loslaten, geeft gewoon aan dat je niet echt begrijpt waar het bij wiskunde om gaat. Op zich is dat geen probleem maar ondanks dat duidelijk is dat je inzicht beperkt is, toch proberen vol te houden dat je we je serieus zouden moeten nemen als je op "problemen" wijst, dat lijkt me toch wat arrogant.

Op welke manier verschilt jouw houding hier van de houding van creationisten die met hun gebrek aan inzicht op allerlei "problemen" met de evolutietheorie wijzen?

[Peter van Velzen]

Het is intuïtionistische wiskunde, niet intuïtieve wiskunde, al ben je niet de enige hier die dat verkeerd schrijft. En zowel mainstream als intuïtionistische wiskunde zijn volstrekt logisch (volgens de wetten van de logica), want gegeven een stelsel axioma's worden er stellingen bewezen aan de hand van logische stappen. Ik heb het eerder gezegd: je veroorzaakt potentieel een hoop verwarring in deze discussie (die hier nota bene over o.a. logica gaat) door een andere invulling ("tegenintuïtief"?) aan het woord "logisch" te geven dan het proces van uitspraken afleiden uit andere uitspraken en axioma's door middel van stappen volgens formele logica (in dit geval klassieke eerste-orde logica dan wel intuïtionistische logica).

Ik heb de laatste tijd wat problemen bij het typen van lange woorden. Sorry dat ik het weer verhaspeld heb. Ik ben het met je eens dat de wiskunde strikt logisch is, of althans dient te zijn. binnen de aannames die er gedaan worden. Het is slechts de logica van de aannames die je kunt betwijfelen. Dat gezegd zijnde beweert Norman Wildberger dat noch de theorie waarin reële getallen worden voorgesteld als Dedekindsneden, noch die hen beschrijft als Cauchy-rijen een uitspraak doet omtrent de vraag hoe men tot de betreffende verzameling komt. In mijn 90 jaar oude boek over het onderwerp, wordt daar inderdaad niets over gezegd. Hij vertelde er wel bij dat de meerderheid er de voorkeur aan geeft dat ze door een oneindig aantal keuze kan worden verkregen. Dat kan mijns inziens echter niet, want een oneindig aantal keuzes valt niet te maken. Oneindig betekent zonder einde. Als er geen einde aan de termen is. dan kan men ze nooit allemaal kiezen. Ik vind het daarentegen wel logisch als men een methode heeft om elke volgende term van een Cauchy-rij te bepalen, dat men dan stelt dat de rij bepaald is, en een reëel getal weergeeft. (Wildberger niet).
WIldberger beweert ook geen intuitionistische (Wat een rot woord, ik krijg er telkens een rode kringelstreep onder) wiskunde te doceren, maar fundamentele kritiek te hebben op het idee van reële getallen.

[Peter van Velzen]

Nee, dat weet ik niet. Zover ik weet zijn Cauchy-rijen eindeloos, terwijl decimale getallen in het algemeen eindig zijn.

Zucht.
Je kunt altijd er zoveel nullen achter zetten als je wilt.
Heb je alleen maar nullen dan heet zo iets de nulrij.
Dit is ook een Cauchy rij hoor.

Ik denk dat je wat kort door de bocht uitdrukt. Nullen achter een decimaal getal zetten maakt er nog geen Cauchy rij van. Een Cauchy-rij is een eindeloze reeks rationele getallen, Een decimaal getal is één enkel rationeel getal. Wat je waarschijnlijk bedoelt te zeggen is dat de reeks die begint met de cijfers vóór de komma van het decimale getal, gevolgd door hetzelfde getal aangevuld met het eerste decimaal, dat gevolg door dat laatste getal aangevuld met het 2e decimaal etcetera altijd een Cauchy-rij vormt die het decimale getal voorstelt, en dat die hele reeks uiteraard al is bepaald door het decimale getal op zich. Als briljant wiskundige zie jij waarschijnlijk geen onderscheid, maar een eenvoudige lul zoals ik, heeft daar wat moeite mee.

[Peter van Velzen]

Ook heb ik in jouw verhaal over de natuurlijke logaritme van pi uitgedrukt in het zeventallig stelsel en dat weer opgevat als een uitdrukking in een hoger talstelsel, geen decimalen ontwaart.

Zo heb je dat en wat waren de eerste tien decimalen?
Je hebt volgens mij niets gedaan om een decimale reeks te ontwikkelen.

Je hebt waarschijnlijk moeite met begrijpend lezen. De hoofdzin is "Ik heb in jouw verhaal ... geen decimalen ontwaart"

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Nee, dat weet ik niet. Zover ik weet zijn Cauchy-rijen eindeloos, terwijl decimale getallen in het algemeen eindig zijn.

Zucht.
Je kunt altijd er zoveel nullen achter zetten als je wilt.
Heb je alleen maar nullen dan heet zo iets de nulrij.
Dit is ook een Cauchy rij hoor.

Ik denk dat je wat kort door de bocht uitdrukt. Nullen achter een decimaal getal zetten maakt er nog geen Cauchy rij van. Een Cauchy-rij is een eindeloze reeks rationele getallen, Een decimaal getal is één enkel rationeel getal. Wat je waarschijnlijk bedoelt te zeggen is dat de reeks die begint met de cijfers vóór de komma van het decimale getal, gevolgd door hetzelfde getal aangevuld met het eerste decimaal, dat gevolg door dat laatste getal aangevuld met het 2e decimaal etcetera altijd een Cauchy-rij vormt die het decimale getal voorstelt, en dat die hele reeks uiteraard al is bepaald door het decimale getal op zich. Als briljant wiskundige zie jij waarschijnlijk geen onderscheid, maar een eenvoudige lul zoals ik, heeft daar wat moeite mee.

Een rij is wat anders als een reeks.

Een eindeloze rij nullen is dus ook een Caychy rij.

Decimale getallen zijn niet altijd rationele getallen.
Er zijn rationele getallen die een oneindig aantal decimalen opleveren die zijn dus niet rationeel volgens jou?

Briljant of niet het laatste gedeelte van je verhaal is me te warrig om er commentaar op te leveren.

Kennelijk ben je weer weer aan het cirkel redeneren.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Ook heb ik in jouw verhaal over de natuurlijke logaritme van pi uitgedrukt in het zeventallig stelsel en dat weer opgevat als een uitdrukking in een hoger talstelsel, geen decimalen ontwaart.

Zo heb je dat en wat waren de eerste tien decimalen?
Je hebt volgens mij niets gedaan om een decimale reeks te ontwikkelen.

Je hebt waarschijnlijk moeite met begrijpend lezen. De hoofdzin is "Ik heb in jouw verhaal ... geen decimalen ontwaart"

Nee dat klopt en ik heb ook aangeven waarom niet.

PS.
Al gezien waarom jouw rijtje foutief is?

[The Black Mathematician]

Ik ben het met je eens dat de wiskunde strikt logisch is, of althans dient te zijn. binnen de aannames die er gedaan worden. Het is slechts de logica van de aannames die je kunt betwijfelen.

De keuze voor bepaalde premissen of voor bepaalde axioma's heeft niets met logica te doen behalve dat je geen tegenspraken wilt hebben. Logica zegt niets over de geldigheid van je premissen. Ook in dit verband heeft het dus de voorkeur om het adjectief "logisch" te vermijden.

[Peter van Velzen]

[qu
Al gezien waarom jouw rijtje foutief is?

Sorry, dat bericht is zoekgeraakt. Ik was zo dom om de komma verkeerd te zetten. Ook in het zeventallig stelsel is 1 natuurlijk gewoon 1 en niet 0,1! Is er nog meer fout aan?
Het was niet voor niets dat ik jou vroeg om het te doen. Ik ben echt een knoeier op dat gebied.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

[qu
Al gezien waarom jouw rijtje foutief is?

Sorry, dat bericht is zoekgeraakt. Ik was zo dom om de komma verkeerd te zetten. Ook in het zeventallig stelsel is 1 natuurlijk gewoon 1 en niet 0,1! Is er nog meer fout aan?
Het was niet voor niets dat ik jou vroeg om het te doen. Ik ben echt een knoeier op dat gebied.

Als je een knoeier bent kun je je er beter niet aan wagen.

Maar tot welke cijfer rij kom je nu, het lijkt wel te kloppen trouwens.?

PS.
Ik weet nog steeds niet welke methode je gebruikt hebt.
De methode is nu eenmaal belangrijker dan het antwoord.

[karel vdr]

axxyanus schreef:
Het probleem is dat je de verzameling krachten verward met het effect dat ze hebben. Het effect van een lege verzameling krachten is net het zelfde effect van een nul-kracht is net het zelfde effect als twee krachten die elkaar opheffen. Maar het feit dat het effect het zelfde is, wil nog niet zeggen dat de verzamelingen die tot dat effect leiden het zelfde moeten zijn. Er is dus helemaal geen contradictie.
In een geval zoals dit spreken we dan ook niet van gelijkheden maar van equivalenties.

Ik heb het in situaties c en d niet over meerdere krachten. Ander zouden we het voorstellen als {Fa, Fb, …}. Deze situatie hoeven we dus al niet verder te behandelen.
Maar je zou inderdaad nog kunnen stellen dat {} en {nulvector} verschillend zijn, maar hetzelfde effect hebben. In dat geval zou men ze inderdaad equivalent kunnen noemen.

Alleen is er in de praktijk geen enkel verschil tussen {} en {nulvector}. Men kan dus onmogelijk zeggen: deze situatie komt overeen met {} terwijl een andere overeen komt met {nulvector}.
Dit verschil is er wel op basis van de wiskundige techniek die men toepast.
Vb. zonder formule is het antwoord {} en met een formule is het antwoord {nulvector}.

En zoals je ongetwijfeld weet kan een vraag geen twee antwoorden hebben die elkaar uitsluiten.
M.a.w. er is wel degelijk een contradictie.

Het probleem is dat men de nulvector als element beschouwt, ook als dit overeen komt met {}. Dat is als het ware een contradictie in de theorie inbouwen en om problemen vragen.
Voor objecten die niet beschouwd worden als vectoren (vb. appels) stelt dit probleem zich niet.
Iedereen weet dat {0 appels} = {}, wat logisch is, en dus ook volledig correct is.
Terwijl men fysische objecten (zoals appels) eigenlijk ook als vectoren kan beschouwen. Als men de axioma’s voor een vectorruimte beschouwt is er slechts één axioma dat een probleem geeft (inverse element). En eigenlijk is dat zelfs niet terecht. Het is niet aan wiskundigen om in te vullen hoe gebruikers hun invers element definiëren en binnen welke range ze hun formules willen gebruiken. (vb. object wegnemen kan ook beschouwd worden als invers element).
M.a.w. als een object als vector beschouwd wordt loopt het plots fout. Dan zou er toch een belletje moeten gaan rinkelen.
Ik kan mij voorstellen dat wiskundigen geen zin hebben om al hun theorieën te herzien, maar het gaat hier over één van de belangrijkste inzichten die er zijn, en het is onontbeerlijk om onze realiteit te begrijpen.

[Peter van Velzen]

Decimale getallen zijn niet altijd rationele getallen.
Er zijn rationele getallen die een oneindig aantal decimalen opleveren die zijn dus niet rationeel volgens jou?

Pardon, Moet iemand geacht worden te begrijpen wat je hier wilt zeggen?

Ik - van mijn kant - wilde slechts zeggen dat niet iedereen zo geniaal is om in een decimaal getal direct een Cauchy rij te zien. Ongeachte hoeveel decimalen het bevat. Ik ga nu deze discussie verlaten en het onderwerp opnieuw aansnijden in filosofie. Maar bedankt voor je commentaren, ik heb er best wat van geleerd.

[axxyanus]

axxyanus schreef:
Het probleem is dat je de verzameling krachten verward met het effect dat ze hebben. Het effect van een lege verzameling krachten is net het zelfde effect van een nul-kracht is net het zelfde effect als twee krachten die elkaar opheffen. Maar het feit dat het effect het zelfde is, wil nog niet zeggen dat de verzamelingen die tot dat effect leiden het zelfde moeten zijn. Er is dus helemaal geen contradictie.
In een geval zoals dit spreken we dan ook niet van gelijkheden maar van equivalenties.

Ik heb het in situaties c en d niet over meerdere krachten. Ander zouden we het voorstellen als {Fa, Fb, …}. Deze situatie hoeven we dus al niet verder te behandelen.
Maar je zou inderdaad nog kunnen stellen dat {} en {nulvector} verschillend zijn, maar hetzelfde effect hebben. In dat geval zou men ze inderdaad equivalent kunnen noemen.

Jij hebt het inderdaad niet over meerdere krachten maar ik denk dat kijken naar meerdere krachten wel voor belangrijke inzichten kan zorgen. Want als we kijken naar meerdere krachten dan is de algemene regel dat we al die krachten mogen vervangen door één kracht, de resultante (het uiteindelijke effect), die het zelfde effect zal hebben als al die andere krachten samen. Het is daarbij zeer goed mogelijk dat twee verschillende verzamelingen krachten uiteindelijk dezelfde resultante opleveren. Uit het feit dat we dus twee keer de zelfde resultante of het zelfde effect hebben, kunnen we dus niet afleiden dat de twee verzamelingen het zelfde zijn.

Alleen is er in de praktijk geen enkel verschil tussen {} en {nulvector}. Men kan dus onmogelijk zeggen: deze situatie komt overeen met {} terwijl een andere overeen komt met {nulvector}.

Inderdaad net zomin als we kunnen zeggen of de situatie overeenkomt met {nulvector} of met {F, -F} want in een situatie met twee elkaar opheffende krachten is het uiteindelijk resultaat alsof er geen kracht aanwezig is.

Dit verschil is er wel op basis van de wiskundige techniek die men toepast.
Vb. zonder formule is het antwoord {} en met een formule is het antwoord {nulvector}.

En zoals je ongetwijfeld weet kan een vraag geen twee antwoorden hebben die elkaar uitsluiten.
M.a.w. er is wel degelijk een contradictie.

Neen er is geen contradictie. Als je weet dat de uiteindelijk algemene som van een aantal getallen 0 is, dan weet je ook onvoldoende om een onderscheid te maken tussen een som van nul getallen of de som met één getal dat gelijk is aan 0, of een som van twee tegengestelde getallen enz. We leiden ook niet af uit 2 + 3 = 1 + 4 dat {2, 3} en {1, 4} de zelfde verzameling zou moeten zijn.

Op dezelfde manier is het geen enkel probleem dat een resultante nul-vector het resultaat kan zijn van een lege verzameling krachten of van een verzameling met enkel de nul-vector of van oneindig veel andere verzamelingen. Het feit dat twee verzamelingen de zelfde resultante opleveren impliceert niet dat de twee verzamelingen aan elkaar gelijk moeten zijn.