Freethinker.nl

axxyanus schreef:

Peter van Velzen schreef:Wat ik echter claim is dat die Cauchy-rij niet dat getal definieert, maar dat jouw beschrijving van hoe jij dat getal bepaalt het definieert. Je hebt die procedure nodig om tot de Cauchy-rij te komen, niet andersom!

Hoe wordt e dan gedefinieerd? Van wat ik mij nog herinner over de basis calculus, is dat e van in het begin naar voor is gekomen als een cauchy-rij. Namelijk als de limiet van de van de rij (r_n) met r_n = (1 + 1/n)ⁿ.

Dat zou kunnen, Ik ken de geschiedenis van e niet. Ik wist slechts dat e in de macht x haar eigen afgeleide is. Het getal is echter niet gedefinieerd als limiet van een oneindige rij rationele getallen, maar als de limiet van een specifieke functie. Het verschil is wellicht wat te subtiel om je druk over te maken. Ik zei al dat Cauchy-rijen als definitie van irrationele getallen zinvoller waren dan Dedekindsneden. Waar het op neerkomt is dat het de specieke formule is waar je de rij mee opbouwt die het getal definiëert, en niet de rij op zich. Als ik haar tegen zou komen zonder de formule, dan zou ik niet met zekerheid weten dat het e was. Misschien heeft iemand die getallen wel op geheel andere wijze verkregen, en wijkt het niet vermeldde deel ervan wel af van de rij voor e. Maar uiteraard is het voor iemand die beter is in wiskunde dan ik, heel gemakkelijk om de formule van de rij af te leiden.
De rij luidt meen ik 2/1; 9/4; 64/27; 625/256 etcetera
In Excel krijg ik decimalen: 2; 2,25; 2,37037; 2,441406 etcetera Daar zou ik echt niet aan zien hoe het verder moet.

Peter van Velzen schreef:

axxyanus schreef:

Peter van Velzen schreef:Wat ik echter claim is dat die Cauchy-rij niet dat getal definieert, maar dat jouw beschrijving van hoe jij dat getal bepaalt het definieert. Je hebt die procedure nodig om tot de Cauchy-rij te komen, niet andersom!

Hoe wordt e dan gedefinieerd? Van wat ik mij nog herinner over de basis calculus, is dat e van in het begin naar voor is gekomen als een cauchy-rij. Namelijk als de limiet van de van de rij (r_n) met r_n = (1 + 1/n)ⁿ.

Dat zou kunnen, Ik ken de geschiedenis van e niet. Ik wist slechts dat e in de macht x haar eigen afgeleide is. Het getal is echter niet gedefinieerd als limiet van een oneindige rij rationele getallen, maar als de limiet van een specifieke functie. Het verschil is wellicht wat te subtiel om je druk over te maken. Ik zei al dat Cauchy-rijen als definitie van irrationele getallen zinvoller waren dan Dedekindsneden. Waar het op neerkomt is dat het de specieke formule is waar je de rij mee opbouwt die het getal definiëert, en niet de rij op zich.

Spijkers op laag water. Nu ga je plots bezwaren maken tegen de manier waarop de rij beschreven wordt.

Peter van Velzen schreef:Als ik haar tegen zou komen zonder de formule, dan zou ik niet met zekerheid weten dat het e was. Misschien heeft iemand die getallen wel op geheel andere wijze verkregen, en wijkt het niet vermeldde deel ervan wel af van de rij voor e. Maar uiteraard is het voor iemand die beter is in wiskunde dan ik, heel gemakkelijk om de formule van de rij af te leiden.
De rij luidt meen ik 2/1; 9/4; 64/27; 625/256 etcetera
In Excel krijg ik decimalen: 2; 2,25; 2,37037; 2,441406 etcetera Daar zou ik echt niet aan zien hoe het verder moet.

Heeft het bovenstaande een punt, behalve dan misschien je eigen beperkingen te illustreren?

axxyanus schreef: Spijkers op laag water. Nu ga je plots bezwaren maken tegen de manier waarop de rij beschreven wordt.

Nee het gaat er niet om hoe de rij beschreven wordt, maar of er een methode is, om het volgende element in de rij te kunnen bepalen. Het is die methode die definieert wat de limiet ervan is, niet de rij op zich. Ik zei al dat het subtiel was. Blijkbaar te subtiel voor jou, en ook te subtiel voor de meeste wiskundigen. Het zei zo.

Volgens de theorie kun je een Cauchy-rij vooraan voorzien een aantal volstrekt willekeurige elementen, maar zolang er voor elke kleine marge d een element te vinden is waarvoor geldt dat het verschil tussen dat element en de daarop volgende elementen kleiner is dan d, is die rij een Cauchy-rij. Of dat zo is, weet je niet, als je geen methode kent, om het volgende element te bepalen. Het is de definitie van een Cauchy-rij die zo een methode noodzakelijk maakt. Het is dan echter de methode die de rij definieert, en dus definieert de methode ook de limiet en derhalve het getal.

Ik gaf de twee voorbeelden alleen maar om te laten zien dat het niet altijd aan de rij te zien is, wat de methode is om het volgende element te bepalen. Niet om te beweren dat de ene weergave wel het getal e zou definiëren en de andere niet.

Ook in het briljante voorbeeld van Claudius Tiberius is er een methode op het volgende element in de Cauchy-rij te bepalen. Het is ook daar de methode die dat getal definieert, niet de (nog altijd niet bekende) Cauchy-rij.

Ik geef overigens grif toe dat mijn wiskundige vaardigheden zeer beperkt zijn. Maar logisch denken kan ik wel. Het is jammer dat anderen niet eens beseffen wat ik beweer, laat staan dat ze de logica er van begrijpen.

Peter van Velzen schreef:

axxyanus schreef: Spijkers op laag water. Nu ga je plots bezwaren maken tegen de manier waarop de rij beschreven wordt.

Nee het gaat er niet om hoe de rij beschreven wordt, maar of er een methode is, om het volgende element in de rij te kunnen bepalen. Het is die methode die definieert wat de limiet ervan is, niet de rij op zich.

Dat heeft wiskundig geen enkel belang. Het probleem is dat je begint met een uitspraak over wiskunde te doen en dan argumenteert als een ingenieur en met aspecten komt die wiskundig gezien geen enkel belang hebben.

Op deze manier heb jij je uitspraak gewoon onweerlegbaar gemaakt want van zodra iemand met een voorbeeld wil komen en je een recept geeft dat de rij beschrijft, zal jij dat recept als de methode zien om de elementen te bepalen en met de bewering komen dat het niet de rij op zich is maar de methode die de limiet bepaald.

Het draait dus uiteindelijk niet om of wat je zegt juist is of niet maar om welke betekenis we aan je woorden moeten geven zodat de uitspraak waar wordt.

axxyanus schreef:[
Dat heeft wiskundig geen enkel belang. Het probleem is dat je begint met een uitspraak over wiskunde te doen en dan argumenteert als een ingenieur en met aspecten komt die wiskundig gezien geen enkel belang hebben.

Op deze manier heb jij je uitspraak gewoon onweerlegbaar gemaakt want van zodra iemand met een voorbeeld wil komen en je een recept geeft dat de rij beschrijft, zal jij dat recept als de methode zien om de elementen te bepalen en met de bewering komen dat het niet de rij op zich is maar de methode die de limiet bepaald.

Het draait dus uiteindelijk niet om of wat je zegt juist is of niet maar om welke betekenis we aan je woorden moeten geven zodat de uitspraak waar wordt.

Je hebt zojuist in dit bericht uitgelegd waarom ik gelijk heb. Het is inderdaad niet mogelijk om een Cauchy-rij te vinden die niet wordt gedefinieerd door zo'n recept. Dat is in wezen alles wat ik beweer, en meer betekenis hoef je aan mijn woorden ook niet te geven. Dat dit wiskundig geen enkel belang zou hebben lijkt mij een zeer boude uitspraak!

Peter van Velzen schreef:Je hebt zojuist in dit bericht uitgelegd waarom ik gelijk heb. Het is inderdaad niet mogelijk om een Cauchy-rij te vinden die niet wordt gedefinieerd door zo'n recept. Dat is in wezen alles wat ik beweer, en meer betekenis hoef je aan mijn woorden ook niet te geven.

Dat is misschien wat je wilde beweren maar daarom is dat niet de meest voor de hand liggende interpretatie van wat je oorspronkelijk geschreven hebt.

Peter van Velzen schreef:Dat dit wiskundig geen enkel belang zou hebben lijkt mij een zeer boude uitspraak!

Maar jouw oordeel op dat vlak lijkt mij weinig gewicht in de schaal te leggen.

Het probleem is niet van belang ontbloot. De mainstream wiskundigen gaan uit van de veronderstelling dat Cauchy-rijen die niet via een recept zijn samen te stellen wél bestaan. Daarom ontkennen ze mijn bewering dat irrationele getallen niet zozeer door een Cauchy-rij worden gedefinieerd. maar door dat recept.

Omdat men veronderstelt dat ik ongelijk heb, veronderstelt men dat ik iets beweer dat niet waar is. Dat overkomt me telkens weer. Meestal geeft men daar geen argumenten voor, en volstaat met te zeggen "dat is niet waar", maar soms ageert men op stropoppen, zoals de veronderstelling dat ik zou beweren dat irrationele getallen of transcendente getallen niet bestaan. Dat is wat Norman WIldberger doet. Maar hij is hoogleraar aan de universiteit. Ik - als leek - durf zover helemaal niet te gaan. Volgens mij zijn algebraïsche getallen en transcedente getallen - zoals Pi en e - uitstekend gedefinieerd. Er valt echter niet echt mee te rekenen. Weliswaar heb ik in "het onmeetbare getal" van Dr. Schuh een keurig recept gevonden over hoe dat zou moeten (rekenen met reële getallen). maar dit luidt dat men alle elementen uit een Cauchy-rij zou moeten gebruiken, en aangezien deze rijen geen einde kennen, gaat dat niet lukken. Geen probleem, we stoppen gewoon als we de ware uitkomst dicht genoeg genaderd zijn. Dat doet in de praktijk iedereen, dus waarom zou ik me daar druk over maken?

Maar als je een bewering doet die men als "ketters"beschouwd, wil men je perse ongelijk geven. Zo gaat dat nu eenmaal. Ook al beweer je eigenlijk iets heel onschuldigs.

Peter van Velzen schreef: Ik geef overigens grif toe dat mijn wiskundige vaardigheden zeer beperkt zijn. Maar logisch denken kan ik wel. Het is jammer dat anderen niet eens beseffen wat ik beweer, laat staan dat ze de logica er van begrijpen.

Geef de ontvangers maar weer de schuld. Je zou je ook kunnen afvragen of er iets mis is met de zender als zoveel ontvangers problemen hebben met de ontvangst.

Maar voor zover ik begrijp wat je bedoelt, wens je dat er een constructief voorschrift voor een Cauchy rij bestaat. Dit klinkt heel erg als het concept van keuzerijen, waarmee je wederom in intuïtionisme terechtkomt. Volgens de mainstreamwiskunde zijn er echter veel meer getallen die niet door een dergelijke rij bepaald worden.

Peter van Velzen schreef: Maar als je een bewering doet die men als "ketters"beschouwd, wil men je perse ongelijk geven. Zo gaat dat nu eenmaal. Ook al beweer je eigenlijk iets heel onschuldigs.

Dit is een typische morosofenverdediging, en wat mij betreft een administrator van een vrijdenkerssite onwaardig.

Peter van Velzen schreef:Het probleem is niet van belang ontbloot. De mainstream wiskundigen gaan uit van de veronderstelling dat Cauchy-rijen die niet via een recept zijn samen te stellen wél bestaan. Daarom ontkennen ze mijn bewering dat irrationele getallen niet zozeer door een Cauchy-rij worden gedefinieerd. maar door dat recept.

De mainstream wiskundigen veronderstellen dat niet, ze werken in een kader waarin dat zo is. Als jij je eigen logisch/wiskundig kader wil opzetten dan doe je maar, maar in zoverre dat je bewering op de standaardwiskunde van toepassing lijken slaan ze vaak de bal mis.

Peter van Velzen schreef:Omdat men veronderstelt dat ik ongelijk heb, veronderstelt men dat ik iets beweer dat niet waar is. Dat overkomt me telkens weer. Meestal geeft men daar geen argumenten voor, en volstaat met te zeggen "dat is niet waar",

Er valt niet te argumenteren met iemand die niet eens de basisconcepten beheerst. En dat je de basisconcepten niet beheerst heb je keer op keer geïllustreerd o.a. door een relatie van een verzameling naar zichzelf, zelfrefererend te noemen en dan die "zelfreferentie" te gebruiken om een voorbeeld niet te willen aanvaarden.

Peter van Velzen schreef:Maar als je een bewering doet die men als "ketters"beschouwd, wil men je perse ongelijk geven. Zo gaat dat nu eenmaal. Ook al beweer je eigenlijk iets heel onschuldigs.

Spijtig genoeg is jezelf als "ketter" zien, geen betrouwbare indicatie dat je gelijk hebt. Creationisten zien zichzelf maar al te vaak ook als de "ketters" van de evolutietheorie.

Peter van Velzen gaat niet volgens de regels te werk.

Eerst beweert hij dat een Cauchy-rij alleen kan bestaan als van te voren bekend is naar welk getal hij convergeert.
(dat ""bekend zijn"" houdt hij echter vrij vaag)

Als ik vervolgens een Cauchy construeer waar dat niet het geval is,
dan komt er als commentaar dat die niet geldt omdat de waarde waar hij naar toe convergeert hem niet bekend is.
Ja naar zo'n voorbeeld vroeg hij nu juist.

Met zo'n cirkel redenering krijg men natuurlijk schijnbaar altijd gelijk.

Immers hij poneert wat komt er iets dat dat onderuit haalt,
wordt dat verworpen op slechts de grond van wat hij heeft geponeerd.

Peter van Velzen verwerpt gewoon de formele wiskunde, wel zonder er iets voor in de plaats te stellen.

Peter van Velzen schreef:Volgens mij zijn algebraïsche getallen - zoals Pi en e - uitstekend gedefinieerd.

En hoe wil je dan algebraische getallen definiëren? Als oplossingen van vergelijkingen? Dan moet je eerst bewijzen dat die vergelijkingen überhaupt oplossingen hebben, en daar heb je complexe getallen en de volledigheid van de reële getallen voor nodig. Dit laatste vereist ofwel Dedekindsneden ofwel Cauchy rijen.

Pi en e zijn overigens geen algebraische getallen!!!!!!!!!

TIBERIUS CLAUDIUS schreef:Met zo'n cirkel redenering krijg men natuurlijk schijnbaar altijd gelijk.

Lijkt op de stelling 'niets is waar', wiskundigen ontkennen het niet maar het blijft lastige logica.

The Black Mathematician schreef:
Maar voor zover ik begrijp wat je bedoelt, wens je dat er een constructief voorschrift voor een Cauchy rij bestaat. Dit klinkt heel erg als het concept van keuzerijen, waarmee je wederom in intuïtionisme terechtkomt. Volgens de mainstreamwiskunde zijn er echter veel meer getallen die niet door een dergelijke rij bepaald worden.

Kijk, weer iemand die - omdat hij niet kan geloven dat ik wel eens gelijk zou kunnen hebben, met een stropopargument komt. Ik wéns dat helemaal niet. Ik kén echter geen Cauchy-rijen waarvoor zo'n voorschrift niet bestaat, en volgens mij kent niemand er ook maar één. Ik weet inderdaad dat de mainstreamwiskunde er van uit gaat dat ze bestaan, maar misschien gaan er ook mensen van uit dat er een god bestaat. Beiden zal ik geloven zodra er een te observeren valt. Waarom willen jullie eigenlijk persé dat ik me tot het intuitisme bekeer, terwijl ik liever wél in reële getallen geloof? Een driehoek met een hoek van 90 graden en twee van 45 graden heb ik wel eens gezien en derhalve denk ik dat de verhouding tussen de zijden (1 : wortel 2) wel degelijk zou kunnen bestaan. Ook cirkels heb ik wel eens gezien, met een omtrek en een diameter en de Cauchy-rij voor het getal e heeft een keurig recept. Maar Cauchy-rijen zonder een recept om het volgende element in de rij te vormen, heeft - denk ik - nog nooit iemand gezien.

axxyanus schreef: Spijtig genoeg is jezelf als "ketter" zien, geen betrouwbare indicatie dat je gelijk hebt. Creationisten zien zichzelf maar al te vaak ook als de "ketters" van de evolutietheorie.

Ik zie mezelf helemaal niet als ketter, maar slechts als iemand die een feit constateert. Er is niemand die ook maar één Cauchy-rij kent die niet door een recept wordt beschreven. Dat dit feit "inconvenient" is, kan ik niet helpen. Ik heb slechts het gevoel als een ketter behandeld te worden. Ze willen dat ik me tot het intuitisme bekeer zodat ze verder van mij af zijn. Misschien dat ik dat maar doe, maar het verdriet mij dat we er niet gewoon over te kunnen praten.

The Black Mathematician schreef:

Peter van Velzen schreef:Volgens mij zijn algebraïsche getallen - zoals Pi en e - uitstekend gedefinieerd.

En hoe wil je dan algebraische getallen definiëren? Als oplossingen van vergelijkingen? Dan moet je eerst bewijzen dat die vergelijkingen überhaupt oplossingen hebben, en daar heb je complexe getallen en de volledigheid van de reële getallen voor nodig. Dit laatste vereist ofwel Dedekindsneden ofwel Cauchy rijen.

Pi en e zijn overigens geen algebraische getallen!!!!!!!!!

Als de algebraïsche getallen worden gedefinieerd als de oplossingen van de polynomen is dat niet meer nodig.

Men moet dan wel deze oplossingen zien als een uitbreiding van de rationele getallen.